ȘTIM 2. Diferența între matematică și modele matematice pe înțelesul tuturor

Motto: Sapă suficient de adânc în orice și vei da de matematică (Go down deep enough into anything and you will find Mathematics) – Dean Schlicter, citat apocrif

Am încercat în primul articol din seria ȘTIM, acronim de la Știință, Tehnologie, Inginerie și Matematică, să schițez câteva caracterizări ale matematicii cu scopul de a familiariza o audiență foarte largă cu această disciplină atât de ,,inefabilă” și de a evidenția rolul central pe care matematica îl ocupă în societatea și cultura moderne. Ideea de la care am pornit în această întreprindere este că, în conglomeratul de discipline grupate în ȘTIM, și pe care am încercat să-l identific în articolul menționat, matematica joacă un rol esențial dar, din păcate, lumea matematicii și a matematicienilor este relativ închisă și de foarte multe ori neînțeleasă, ceea ce conduce la multe confuzii. Rolul central al matematicii în disciplinele care compun ȘTIM este în mare parte necunoscut, misterios, minimalizat și de multe ori chiar negat. Această atitudine față de matematică este justificată din mai multe motive. Matematica este o disciplină care cere eforturi foarte mari și capacități mentale relativ superioare, ceea ce conduce la situația că sunt puțini semeni de-ai noștri care trec dincolo de bariera unei simple familiarizări cu cunoștințele elementare de matematică necesare unei vieți normale în societatea modernă. Apoi, oamenii pot avea o diversitate foarte mare de tipuri de personalitate și este absolut natural ca foarte mulți dintre cei care excelează în anumite domenii ale cunoașterii pur și simplu să nu fie atrași de matematică din diverse motive. În plus, comunicarea dintre practicanții matematicii și societate este de multe ori îmbibată de resentimente provocate de o educație matematică inabil făcută și de multe ori traumatizantă. Mai mult, mulți utilizatori de matematică au o perspectivă utilitaristă asupra matematicii, mai precis, valorizează doar realizări concrete în timp ce matematica în sine este desconsiderată profund. În acest caz, caracterul abstract al matematicii, nelegată în niciun fel de lumea în care trăim, este ceea ce i se reproșează.

Această stare de lucruri conduce la faptul că, de multe ori, i se atribuie matematicii fapte/efecte/interpretări care nu prea au legătură cu realitatea. În acest articol încerc să lămuresc o confuzie foarte frecventă care se face între matematică și modelele matematice, cele care sunt folosite în extrem de multe activități umane și care sunt cu mult mai vizibile decât matematica. Cei mai mulți dintre noi văd doar rezultatele modelelor matematice și nu fac diferența între matematică și aceste modele. Îmi propun deci să abordez, într-o manieră discursivă și neformalizată, întrebări de genul: ce este modelarea matematică, care sunt relațiile acesteia cu celelalte discipline, și care este rolul pe care aceasta îl are în societatea modernă.

Ce este modelarea matematică?

În limbajul uzual, cuvântul model are mai multe înțelesuri. Lăsând la o parte înțelesuri de genul manechin, sau de genul pildă, exemplu, acestea merg de la a fi un obiect concret, sinonim cu calapod, tipar, șablon, până la un nivel abstract: sistem teoretic (logico-matematic) sau material cu ajutorul căruia pot fi studiate indirect proprietățile și transformările altui sistem, mai complex, cu care primul sistem prezintă o analogie, înțeles care îl acoperă și pe acela de machetă, a se vedea https://dexonline.ro/definitie/model. Trebuie spus de la bun început că niciunul dintre sensurile din DEX nu acoperă în totalitate înțelesul specific modelării matematice dar trebuie să reținem din sensurile largi ale cuvântului model faptul că, în aproape toate interpretările, este ascuns bine privirii noastre conceptul de reprezentare, în sensul de redare a unei părți din altceva mai mare. De aici, mergând mai departe pe firul acestei idei, putem trage concluzia că modelarea matematică ar trebui să fie o modalitate de reprezentare a unei părți din matematică în lumea reală. Astfel, ajungem la a intui că există două lumi, lumea reală și lumea matematicii, și că, în acest univers în care trăim și pe care îl percepem prin simțurile noastre, putem vedea doar aceste modele matematice dar nu și matematica.

În cele ce urmează voi arăta și exemplifica într-o manieră foarte lejeră că modelarea matematică este un proces circular, care este alcătuit din patru etape distincte, care trece prin și face legătura între cele două lumi, lumea reală și lumea matematicii, și care, în general, necesită colaborare în cadrul unor echipe interdisciplinare de specialiști. Acest lucru însă nu trebuie înțeles în mod foarte strict, fiindcă aceste ,,echipe” pot fi compuse la distanțe mari de spațiu și de timp. Până la proba contrarie, pentru modelare matematică este nevoie de ființe umane fiindcă acestea sunt singura interfață dintre lumea reală și lumea matematicii. Apoi, pentru modelare matematică, de multe ori este nevoie de mai mulți specialiști din diverse discipline, în funcție de întrebările la care vrem să răspundem. Din această cauză, rolul educației matematice care se face în universități pentru studenții din conglomeratul ȘTIM, dar nu numai, este exact acela de a le furniza acestora acces la aparatul matematic existent în așa fel încât, sau să poată face modelarea matematică fără a avea nevoie de altcineva, sau să poată comunica cu matematicieni în cadrul acestor echipe interdisciplinare.

Mai întâi, avem patru zone distincte:

(a) formularea problemei reale,

(b) formularea problemei în limbajul matematic,

(c) soluțiile problemei formulate în limbajul matematic, și

(d) soluțiile în contextul problemei reale.

În cele ce urmează explicăm cu mai multe detalii și câteva exemple fiecare dintre aceste zone.

(a) Formularea problemei reale. Viața noastră, nu neapărat a omului modern, este compusă din acțiuni pe care dorim să le facem într-un scop bine determinat iar pentru aceasta avem nevoie să înțelegem lumea în care trăim, fizic, chimic, biologic, social, etc. Cele mai multe activități pe care le facem sunt procese dinamice, în sensul desfășurării într-un interval bine precizat de timp, cu un început și un sfârșit. În contextul unei existențe raționale, vrem să înțelegem de unde plecăm, unde vrem să ajungem, și ce anume trebuie să facem pentru a ne atinge scopul. Mai mult, vrem să putem acționa în condiții de siguranță, atât pentru noi cât și pentru ceilalți. Astfel, avem probleme din lumea reală, care pot fi de tipuri atât de diferite încât cu siguranță că orice încercare de completitudine ar fi sortită eșecului. Păstrând un nivel de discuție cât mai elementar, aceste probleme pot fi: să înțelegem ce se întâmplă când aruncăm un obiect pe o direcție oblică, să înțelegem ce se întâmplă când amestecăm două substanțe, să înțelegem ce putem face pentru a avea o recoltă bună, sau să înțelegem de ce semeni de-ai noștri se comportă într-un anumit fel. Pot fi însă scopuri și mai concrete: vrem să construim un pod peste o apă, vrem să aflăm dacă un anumit organ din corpul nostru este sănătos sau nu, sau vrem să punem o întrebare în lumea virtuală și să primim rezultate ierarhizate pe o scară a relevanței în raport cu întrebarea noastră. La scară istorică, probleme ca cele enumerate mai înainte au condus la diferențierea științelor naturii, fizica, chimia, biologia, a disciplinelor inginerești, a medicinei, a științelor sociale, și a foarte multor altor discipline. Abordarea acestor probleme a fost făcută în maniere diferite, colectând informații din experimente și formulând legi, procesând aceste informații și formulând teorii, ceea ce a condus la coagularea și individualizarea diferitelor științe sau discipline.

(b) Formularea problemei în limbajul matematic. Oamenii au observat din vremuri imemoriale că există anumite tipare în lumea în care trăim, acestea fiind obținute prin observarea unor similarități între problemele din lumea reală pe care vrem să le rezolvăm. De exemplu, grupuri de obiecte de un  anumit tip cu alte grupuri de obiecte de un tip diferit, cea mai primitivă formă de conceptualizare a numerelor naturale. Tiparele care au fost observate au însemnat deja un pas în sensul abstractizării și n-a lipsit mult până când conceptele matematice au apărut. Odată apărute, a fost ușor să se treacă la operații din ce în ce mai complexe și oamenii au observat că acest tărâm, în care unii dintre ei s-au aventurat, era și parcă nu era real. A trebuit să treacă câteva mii de ani pentru ca oamenii să înțeleagă că există un ansamblu de concepte, operații, și structuri, care alcătuiesc o lume aparte, abstractă, care poate fi accesată doar prin mintea umană și căreia în cele din urmă i-au zis matematică. Pentru o bună perioadă de timp, matematica a conviețuit cu științele naturi și alte discipline din zona cunoașterii iar diferențierea clară a apărut doar în urmă cu câteva sute de ani. La început, matematica a fost percepută cu precădere în maniera operațională, de calcule, dar, plecând de aici, s-a ajuns la moduri de operare foarte sofisticate. Astfel, au apărut problemele formulate în limbajul matematic cu un statut independent în raport cu realitatea. Acestea pot fi exprimate prin probleme de numărare, probleme de forme și structuri geometrice, ecuații algebrice, ecuații diferențiale sau cu derivare parțiale, probleme din lumea misterioasă a proceselor aleatoare, și foarte multe alte tipuri de probleme formulate în limbajul matematic.

(c) Soluțiile problemei formulate în limbajul matematic. Abordarea cea mai simplă și convențională este că matematica, și deci matematicienii, se ocupă cu rezolvarea ecuațiilor. De multe ori, în discuții cu interlocutori care află că profesia mea este matematica, aceștia mă clasifică imediat în sertarul cu cei care rezolvă ecuații. Încercând din răsputeri să nu rănesc orgoliul interlocutorilor mei, aduc în discuție dihotomia dintre aspectul cantitativ și aspectul calitativ. Să luăm exemplul simplu al ecuațiilor algebrice, adică polinomiale. Mai toți știm că ecuațiile algebrice de ordin unu se rezolvă foarte simplu, pentru soluțiile ecuației algebrice de ordin doi cu toții am învățat o formulă iar unii dintre noi știu chiar cum să o obțină, pentru soluțiile ecuației de ordin trei unii dintre noi au auzit sau chiar au văzut că există o formulă pentru una dintre soluții după care urmează reducerea la cazul unei ecuații de ordin doi, iar pentru ecuația de ordin patru există o metodă de a reduce găsirea soluțiilor la două ecuații de ordin doi. Până acum, totul se învârte în zona formulelor cu radicali dar chiar de la acest nivel elementar apar probleme de cunoaștere care provoacă intelectul uman la un nivel de abstractizare foarte înalt. Încă de la cazul ecuațiilor polinomiale de ordin doi, oamenii au observat că există ecuații foarte simple generate de polinoame cu coeficienți reali foarte cuminți, de exemplu x²+1=0, care nu au nicio rădăcină reală (prin rădăcină a unui polinom p înțelegem o soluție x a ecuației p(x)=0). A fost nevoie de mult timp pentru ca numerele complexe, pe care de obicei le înțelegem ca având două componente, una reală și una imaginară, să fie acceptate. Spre surprinderea noastră, a omului modern trecut prin liceu, de-a lungul timpului, chiar minți luminate ale unor matematicieni celebri au respins ideea numerelor complexe ca pe o monstruozitate. În urmă cu vreo două sute de ani, matematicienii au acceptat și înțeles că fără numerele complexe, care sunt greu de imaginat atâta timp cât intuiția noastră este ancorată în universul fizic în care trăim, este imposibil să abordezi, la modul serios, probleme relativ simple de matematică, precum cea a rădăcinilor polinoamelor. În timp, numerele complexe și-au dovedit utilitatea chiar și în probleme foarte practice din epoca modernă: proiectarea amplificatoarelor electronice și controlul aparatelor zburătoare, de exemplu, ar fi imposibile fără a efectua o excursie în lumea misterioasă a numerelor complexe. Operarea în cadrul corpului numerelor complexe oferă un avantaj enorm, întrucât acesta este algebric închis (adică orice polinom cu coeficienți numere complexe are toate rădăcinile în corpul numerelor complexe) pe când corpul numerelor reale nu are această proprietate. Ca o idee care potențează în mod metaforic numerele complexe, în folclorul matematic există următoarea zicală: Viața este complexă, are atât parte reală cât și parte imaginară.

Mai departe, problema rezolvării ecuațiilor algebrice se complică și aici intervine relația subtilă dintre cantitativ, adică formule și numere, și calitativ, adică afirmații despre calități ale anumitor obiecte matematice, în cazul nostru soluțiile ecuațiilor algebrice de ordin cinci sau mai mare. A fost nevoie de munca unui șir lung de matematicieni care au pus cărămidă peste cărămidă până când un matematician genial, pe nume Évariste Galois (1811-1832), a reușit să demonstreze că, pentru ecuații polinomiale de ordin mai mare ca sau egal cu cinci, nu există formule cu radicali care să reprezinte rădăcinile polinoamelor în funcție de coeficienții acestora. În matematică, afirmații de genul că ceva nu există sunt teribil de dificil de demonstrat dar, de foarte multe ori, tehnicile necesare pentru acest tip de demonstrații produc concepte și alte rezultate care reverberează în mod neașteptat în multe alte domenii ale matematicii. Teoria lui Galois este parte din domeniul algebrei și este responsabilă pentru punerea în valoare a conceptului matematic de grup, care are o importanță covârșitoare în aproape întreaga matematică.

Revenind la discuția noastră, o primă întrebare ar fi: la ce ne ajută un rezultat negativ în sensul acesta furnizat de teoria lui Galois? Un prim răspuns ar fi: ca să nu ne mai pierdem timpul căutând ceva care nu există și prin urmare să ne ocupăm cu altă problemă cu care am avea ceva șanse de reușită. Dar, în afară de asta, extrem de importantă este și consecința că putem privi problema de găsire a soluție dintr-o perspectivă mult mai practică și folositoare. Prin urmare, dacă nu putem găsi formule pentru soluțiile ecuațiilor algebrice de ordin superior, atunci putem măcar încerca să obținem metode de aproximare a acestor soluții și care, în cele din urmă, să conducă la algoritmi pe care să-i punem la treabă cu ajutorul calculatoarelor. La urma urmei, în această lume în care trăim, mai devreme sau mai târziu cu toții înțelegem că aproape totul este aproximativ și că, cel puțin pentru scopuri practice, rareori avem nevoie de soluții exacte. Ajungând în acest punct, deja problema pe înțelesul tuturor de la care am pornit se ridică într-o zonă care aparține analizei matematice și în care conceptele și instrumentele devin cu mult mai sofisticate: continuitate, derivabilitate, șiruri, convergență, și multe altele. Nu este de mirare că una dintre cele mai eficiente metode de aproximare a rădăcinilor reale ale ecuațiilor algebrice poartă numele lui Sir Isaac Newton (1643-1727). În acest punct, cam oricine care a trecut prin liceu înțelege că, în ceea ce privește modelarea matematică, drumurile din fața noastră se pot schimba rapid în poteci de munte prin care cu greu ne strecurăm pentru a năzui să ajungem pe culmi.

Prin urmare, prin soluțiile problemei formulate în limbaj matematic înțelegem atât aspectul cantitativ cât și cel calitativ. În ceea ce privește aspectul cantitativ al matematicii, de foarte multe ori căutăm rezultate matematice care să aibă demonstrații constructive, în sensul că aceste demonstrații nu au voie să conțină decât un număr finit de operațiuni și care să poată fi transpuse în algoritmi. De aici urmează alte întrebări legate de stabilitatea metodelor pe care le obținem, de exemplu cât de solide sunt aceste metode la perturbări de diverse tipuri. Întrucât, în urmă cu mai mult de o sută de ani, un matematician celebru pe nume Henri Poincaré (1854-1912) a pus în evidență haosul determinist, ceea ce, într-o exprimare foarte lejeră, înseamnă apariția fenomenului aleator în condiții complet determinate, ne întrebăm cât de deterministă este metoda noastră de aproximare. Trecând la un nivel mai general, pentru ecuații diferențiale sau cu derivate parțiale, probleme de numărare, probleme de forme și structuri geometrice, și probleme din lumea probabilităților, soluțiile pe care le căutăm au atât caracter cantitativ cât și calitativ.

(d) Soluțiile în contextul problemei reale. Problemele din lumea reală pe care încercăm să le rezolvăm cer soluții în lumea reală și pe care să le putem folosi. Sunt relativ puțini oameni pentru care interesul este pur teoretic și general în zona cunoașterii. Cei mai mulți dintre noi dorim soluții pragmatice care să ne ajute în viața de zi cu zi în plan personal sau/și profesional și, mai general, pe termen mediu și lung, să ne aducă siguranță, sănătate, prosperitate și, de ce nu, împliniri în planul social. Dihotomia cantitativ și calitativ revine și pentru problemele din lumea reală. De foarte multe ori vrem răspunsuri pentru problemele noastre care să fie furnizate prin numere: cât timp îmi trebuie ca să ajung de acasă la piață? Dar, în afară de asta, doresc și să mă asigur că drumul pe care plănuiesc să-l fac de acasă la piață să poată fi făcut în siguranță, relativ la trafic, la criminalitate și, de ce nu, la condițiile meteorologice. Astfel, de multe ori dorim să avem nu numai soluții cantitative ci și calitative. Medicul pe care îl consult într-o problemă de sănătate îmi recomandă să fac teste medicale, de sânge sau de imagistică medicală. Testele de sânge îmi furnizează numere care trebuie transpuse calitativ de către specialiști. Testele de imagistică îmi furnizează imagini care trebuie interpretate calitativ sau transpuse cantitativ în numere: ce procent dintr-un organ este afectat de o boală? Dacă plănuiesc să fac un drum doresc să știu care sunt condițiile meteorologice care pot apărea dar, de multe ori, nu mă satisface să știu doar aspectul calitativ, va ploua sau nu va ploua, ci vreau să am o aproximare cantitivă a intensității ploii: cam la câți litrii de apă pe metru pătrat ar trebui să mă aștept? Mai mult, în contextul lumii moderne în care o bună parte dintre noi utilizăm mai mult sau mai puțin conștient calculatoarele electronice, ceea ce înțelegem prin soluții în contextul lumii reale capătă valențe neașteptate. Un exemplu simplu ar fi simulările: pentru o acțiune pe care vreau să o fac sau să o experimentez, este posibil să obțin o simulare grafică sau numerică a acesteia? Deja, prin această întrebare am atins un nivel superior, acela al realității virtuale.

Între aceste patru zone avem patru procese de tranziție:

  (i) modelare: (a) => (b),

 (ii) operare: (b) => (c),

(iii) interpretare: (c) => (d),

(iv) comparare: (d) => (a).

Mai jos aveți o diagramă PERT (un acronim englezesc pentru Program Evaluation and Review Technique / Evaluarea unui program și tehnică de revizuire) realizată prin aplicația disponibilă pe platforma Creatly, prin amabilitatea Alexandrei.

Le vom lua pe rând încercând să explicăm cât mai precis în ce constau acestea. Mai mult, pentru a da substanță descrierii acestor procese, vom folosi un exemplu concret de modelare matematică pe o problemă de interes foarte larg și care face parte din viața noastră de zi cu zi, deși cei mai mulți dintre noi nici măcar nu bănuiesc pe cât de multă matematică se fundamentează aceasta. Întrucât mi-am propus să nu utilizez formalismul matematic aproape deloc pentru a nu exclude din audiență pe cei care nu se simt confortabil în lumea formalizată a matematicii, această alegere poate produce anumite frustrări pentru cititorii care ar prefera, cel puțin într-o anumită măsură, formalismul matematic. Pentru a nu dezamăgi nici pe acești cititori care preferă formalismul matematic, voi face referințe la articolele surse, invitându-i să meargă cât de adânc doresc în interiorul aparatului matematic.

Modelare: (a) => (b). Acest proces face tranziția între problema din lumea reală către problema în limbajul matematicii. Problema de la care plecăm în lumea reală este următoarea. Sunt interesat să obțin mai multe informații pe un anumit subiect și pentru aceasta aleg să utilizez un motor de căutare dintre cele puse la dispoziție de diverse platforme din rețeaua de calculatoare numită internet (cuvânt englezesc format prin combinarea a două cuvinte, interconnected și network). O precizare, mă plasez în timp spre sfârșitul secolului trecut când internetul era într-o fază de dezvoltare net inferioară față de ceea ce avem la dispoziție în zilele noastre, pe vremea când primele motoare de căutare erau furnizate de platformele Altavista, Yahoo, și alte câteva. Secvența de text pe care o pot scrie pe interfața motorului de căutare este trimisă și primesc în timp foarte scurt o listă de adrese internet la care mă pot duce spre a afla informații despre subiectul care mă interesează. Problema este că vreau ca această listă să-mi ierarhizeze răspunsurile în funcție de relevanță, mai precis, vreau ca cele care sunt în capul listei să fie cele mai relevante, pentru a nu pierde timpul căutând acul în carul cu fân.

Privitor la această problemă, ce presupuneri putem face? În primul rând, platforma pe care doresc să o interoghez dispune de baze de date imense, colectate prin activitatea multor roboți care navighează în internet și actualizate continuu, care înregistrează legături între diverse adrese de internet pe o mulțime foarte mare de subiecte. Aceasta este ipoteza de la care pornim. Din punct de vedere matematic, dacă indexez adresele de internet cu 1, 2, …, N, pentru fiecare subiect pot să generez un tabel pătratic (asta însemnând că numărul de linii este N și acesta este egal cu numărul de coloane) de forma N x N, în care elementele tabelului sunt numere naturale sau zero care contorizează numărul de legături (links) de la o platformă corespunzătoare unei linii la o altă platformă corespunzătoare unei coloane. În termeni matematici, am deci o matrice pătratică în care elementele sunt numere întregi nenegative iar din această matrice problema matematică este cum produc o ierarhizare a paginilor de internet în ordinea relevanței pe subiectul pe care am făcut interogarea motorului de căutare. Utilizând motoarele de căutare disponibile, nu sunt mulțumit de răspunsurile lor în privința relevanței fiindcă, din experiența pe care o am, de cele mai multe ori adresele internet care sunt cele mai interesante nu sunt printre primele listate și prin urmare pierd foarte mult timp răsfoind pagini care se dovedesc în final a fi inutile.

O observație foarte importantă pentru procesul de modelare este aceea că trebuie să precizăm foarte clar și onest presupunerile pe care le facem. Una dintre greșelile cele mai mari, și care conduce la confuzii și reacții negative, este aceea că știința poate face orice și că inabilitatea noastră este singura obstrucție în calea obținerii soluțiilor universale. Sunt cunoscute în istoria științei ,,probleme celebre” precum perpetum mobile. Conștientizarea faptului că orice model matematic se obține în urma unor prespuneri este vitală iar ignorarea acestora poate avea consecințe teribile. Iluzia că poate exista un model universal, bun în orice situație, face diferența între știință și pseudo-știință. Sir Karl Raimund Popper (1902-1994) a tranșat problema diferențierii între știință și pseudo-știință prin criteriul falsificabilității: orice afirmație științifică este falsificabilă, ceea ce în contextul modelării matematice înseamnă că este adevărată atâta timp cât ipotezele în care a fost enunțată sunt valabile și devine falsă pentru cel puțin un sistem de ipoteze diferit.

Operare: (b) => (c). De îndată ce avem formulată problema în limbaj matematic, de aici încolo suntem în lumea matematicii și ceea ce facem este matematică. Unul dintre marile avantaje de a opera în interiorul matematicii este acela că suntem liberi de orice constrângeri în afară de cunoașterea matematică acceptată de comunitate și calcule și raționamente corecte din punct de vedere matematic, ceea ce se circumscrie conceptului de demonstrație matematică. Mai precis, una dintre marile constrângeri de operare în cadrul unei științe, naturale sau sociale, sau discipline inginerești constă în faptul că toate operațiile permise trebuie să aibă sens/interpretare în cadrul acelei discipline, pe când în matematică această constrângere pur și simplu nu există. Această libertate este însă relativă fiindcă condiția imperioasă este corectitudinea matematică a calculelor și a raționamentelor. Ne aflăm deci într-un sistem formal în care logica și aparatul matematic sunt singurele instrumente pe care le avem la dispoziție. Mintea umană are această capacitate extraordinară de a se detașa complet de lumea reală pentru a explora tărâmul fascinant al matematicii.

Continuând cu exemplul de mai înainte, de interogare a unui motor de căutare, avem deci o matrice pătratică în care elementele matricei sunt numere întregi nenegative, aceasta înseamnă că sunt numere naturale sau zero, iar din această matrice vreau să extrag cât de multă informație putem, având în minte scopul propus. Matricele constituie obiecte matematice din algebra liniară și analiza matricială, dezvoltate ca domenii  ale matematicii începând cu secolul al nouăsprezecelea dar continuând și în prezent să constituie subiecte active de cercetare matematică. Conceptul de matrice a apărut pentru prima oară la James Joseph Sylvester (1814-1897), iar originea lui este cuvântul latin matrix, cu înțelesul de pântec sau uter. Primele cercetări din teoria matricelor se leagă și de numele lui Arthur Cayley (1821-1893), matematician prin vocație și avocat prin profesie. Interesul pentru algebra liniară și teoria matricelor provine atât din motive pur matematice dar cu preponderență din motive practice care privesc rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Epoca de început a teoriei matricelor și a domeniului mai larg al algebrei liniare a fost partea a doua a secolului al nouăsprezecelea dar contribuții importante în algebra liniară au apărut în matematică cu mult mai înainte la René Decartes (1596-1650), Joseph-Louis Lagrange (1736-1815), și Carl Friedrich Gauss (1777-1850). O  contribuție extrem de importantă în algebra liniară a adus matematicianului francez Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922).

Matricele își datorează importanța în mare parte faptului că sunt concepte matematice care permit calcule necesare transformărilor liniare ale spațiilor liniare, numite și spații vectoriale. Noțiunea de vector este familiară cititorului din fizică dar în matematică aceasta are un înțeles mult mai larg. De îndată ce se fixează o bază, sau un reper, într-un spațiu vectorial de dimensiune finită N, un vector din acest spațiu este nici mai mult nici mai puțin decât un șir finit de numere x=(x₁,x₂,…,x_N). Cu vectorii se pot face operații de adunare și înmulțire cu numere (scalari) pe componente, iar aceste operații corespund intuiției geometrice. Dar cel mai important este că transformările liniare, adică acele transformări care păstrează structurile liniare, între spațiile vectoriale de dimensiuni finite sunt reprezentate de matrice care acționează pe vectori din care produce alți vectori. Matricele pătratice, cum sunt cele care ne interesează pe noi prin prisma interogării motoarelor de căutare, reprezintă transformări liniare în interiorul aceluiași spațiu vectorial și transformă un vector sursă într-un vector țintă care, în general, are altă magnitudine și altă orientare (este rotit față de vectorul sursă). Pentru aceste matrice, o extrem de mare importanță o au vectorii proprii. Un vector propriu pentru o matrice pătratică este caracterizat prin faptul că este nenul și că matricea respectivă îl transformă într-un vector coliniar cu el însuși. Factorul de mărime dintre cei doi vectori, țintă și sursă, care este un număr, se numește valoare proprie. Algebra liniară ne învață că o bună parte dintre proprietățile matricelor poate fi înțeleasă dacă înțelegem structura valorilor proprii, acestea alcătuind ceea ce numim spectrul matricei, și structura vectorilor proprii subiacenți. Pe de o parte, o primă problemă care apare este dată de faptul că valorile proprii ale unei matrice pătratice sunt exact rădăcinile unui anumit polinom, numit polinomul caracteristic al matricei și, chiar dacă matricea are toate elementele numere reale și, în consecință, polinomul caracteristic are toți coeficienții reali, o parte dintre, uneori chiar toate, rădăcinile lui pot fi numere complexe care nu sunt reale. Pe de altă parte, teorema de structură spectrală a matricelor pătratice, datorată lui Camille Jordan, clarifică în întregime această problemă, la nivel teoretic, pentru matricele cu elemente complexe.

Pentru matricea pătratică de interes în acest exemplu, noi avem o proprietate suplimentară, anume că toate elementele ei sunt numere pozitive sau zero. Matricele pătratice care au toate elementele numere pozitive sau zero fac obiectul unei teoreme celebre în matematică și care poartă numele a doi matematicieni germani: Oskar Perron (1880-1975) și Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917). Mai întâi, Perron a demonstrat în 1907 [5] că: orice matrice pătratică, ale cărei elemente sunt toate numere pozitive, are o valoare proprie număr real și dominantă, în sensul că domină în magnitudine toate celelalte valori proprii care pot fi numere complexe sau reale, iar această valoare proprie dominantă are un vector propriu, unic modulo un factor, în care toate elementele sunt numere pozitive. Câțiva ani mai târziu, în 1912, Frobenius a demonstrat că: teorema lui Perron rămâne adevărată dacă matricea are toate elementele numere pozitive sau zero dar astfel încât, ridicată la o anumită putere, produce o matrice care are toate elementele numere pozitive. O demonstrație modernă este disponibilă prin contribuția doamnei Hannah Cairns [3] însă, pentru a înțelege această demonstrație, sunt necesare noțiuni și rezultate din analiza matricială modernă, în plus față de forma canonică Jordan, cum ar fi raza spectrală și cazul matricial al teoremei lui Gelfand pentru raza spectrală. Teorema Perron-Frobenius are o foarte mare importanță în matematică prin aplicațiile din teoria probabilităților, în ergodicitate și lanțuri Markov,  în teoria sistemelor dinamice, în științele sociale, economie, demografie, rețele sociale și, după cum vom vedea imediat, în ierarhizarea paginilor de internet pentru interogări ale motoarelor de căutare. Inițial, această teoremă a fost motivată de considerente de matematică pură dar acest exemplu, și multe altele, ne arată un aspect fascinant al matematicii: matematica poate produce rezultate extrem de puternice în modelarea matematică, la mare depărtare în timp și aparent fără nicio motivare specială.

Însă etapa de modelare din interiorul matematicii pentru problema care ne interesează nu se oprește de îndată ce avem teorema Perron-Frobenius, care are un pronunțat caracter calitativ, fiindcă vom avea nevoie de calculul efectiv al valorii proprii dominante și al unui vector propriu al acesteia. Aici apare iarăși relația complicată dintre cele două aspecte ale matematicii, calitativ și cantitativ. Întrucât valorile proprii ale unei matrice pătratice sunt rădăcinile polinomului ei caracteristic și, am văzut mai sus că, pentru polinoame de ordin mai mare ca sau egal cu cinci nu există formule cu radicali pentru rădăcinile acestora, tot ceea ce putem spera este să folosim metode de aproximare a acestora, după care vom dori să calculăm vectorii proprii asociați valorii proprii dominante prin rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, cu foarte multe ecuații și tot atâtea necunoscute. Teoria aproximării este destul de elaborată în zilele noastre și rezultate matematice care conduc la algoritmi puternici și implementări pe calculator ale acestor algoritmi există dar, vom arăta în cursul procesului de tranziție următor cum, speculând jocul complicat dintre aspectul cantitativ și calitativ, parțial vom putea ocoli această dificultate.

Intrepretare: (c) => (d). Din moment ce avem un rezultat al problemei în limbaj matematic, fie acesta cantitativ, calitativ, sau o combinație a celor două, urmează să facem tranziția către rezultatul problemei din lumea reală de la care procesul de modelare matematică a început. Practic, acest proces este invers procesului de modelare întrucât facem tranziția dintre lumea matematicii către lumea reală. În contextul problemei de ierarhizare a adreselor paginilor de internet în care apare informația cerută de interogarea unui motor de căutare, vom explica pe scurt și la modul discursiv, cum putem aplica teorema Perron-Frobenius. Adresele paginilor de internet sunt indexate prin numerele 1, 2, 3, …, N, unde N poate fi foarte mare, de ordinul miilor. Ne imaginăm o rețea, o pânză de păianjen, după cum sugerează și termenul consacrat în limba engleză, web, în care adresele paginilor de internet (websites) sunt noduri și între aceste noduri sunt săgeți etichetate care modelează legăturile (links). Din această rețea se poate produce o matrice de adiacență în diverse moduri și este de o reală importanță să găsim o modalitate care să fie optimă. O posibilă abordare, și aceasta este descrisă în articolul lui K. Bryan și T. Leise [2] cu amănunte și exemple numerice, este de a contoriza legăturile dintre două noduri diferite cu ajutorul legăturilor care vin și respectiv care pleacă dintr-un nod către celălalt. Aceste valori, denumite scorul importanței, sunt apoi distribuite pe coloane și ponderate în așa fel încât pe fiecare coloană suma elementelor ei este egală cu 1. O matrice pătratică cu toate elementele numerele reale pozitive sau zero și astfel încât suma elementelor din fiecare coloană este egală cu 1 se numește stocastică. Abordarea matricelor de incidență asociate unei rețele de internet prin matrice stocastice are importanța ei fiindcă, aceste matrice au întotdeauna valoarea proprie 1 și, ca o aplicație a teoremei Perron-Frobenius, aceasta este valoarea proprie dominantă. Dar, în aplicarea teoremei Perron-Frobenius pentru matrice stocastice apare o dificultate datorită condiției lui Perron: toate elementele matricei trebuie să fie pozitive ceea ce pentru cazul nostru nu se verifică întrucât matricele de adiacență au valoarea 0 pe diagonală (autolegăturile nu se contorizează). Nici condiția lui Frobenius nu ne ajută prea mult întrucât matricele sunt foarte mari iar verificarea acestei condiții este tehnic imposibilă întrucât implică calculul puterilor acestor matrice imense. Scăparea vine din perturbarea aditivă a matricei de adiacență cu o matrice de tipul 0,15 înmulțit cu o matrice cu toate intrările egale cu 1, urmată de o scalare pentru a nu pierde calitatea de a fi matrice stocastică, metodă prin care se obține o matrice stocastică în care toate elementele sunt pozitive și deci condiția lui Perron este îndeplinită. De ce acest 0,15, adică 15%, pentru perturbare? Alte valori între 0 și 1 sunt posibile dar această valoare a fost aleasă după efectuarea mai multor teste de eficiență. În felul acesta scăpăm de dificultatea calculării valorii proprii dominante (rădăcină a unui polinom caracteristic de un ordin foarte mare) dar nu putem evita calculul unui vector propriu pentru valoarea proprie 1. Aceasta nu este însă o problemă imposibilă întrucât există algoritmul Gauss-Jordan (acest Jordan nu este matematicianul francez Camille Jordan ci Wilhelm Jordan (1842-1899), un geodez german) care este foarte eficient din punct de vedere al complexității de calcul pentru rezolvarea sistemelor de sisteme de ecuații liniare.

De îndată ce avem un vector propriu al valorii proprii 1 pentru matricea de adiacență, acesta poate fi obținut cu toate elementele numere pozitive (din nou, din teorema Perron-Frobenius) ceea ce ne furnizează criteriul prin care ierarhizăm adresele de internet relevante pentru interogarea noastră. Cum? Ierarhia este dată exact de elementele acestui vector propriu, ordonate prin magnitudinea lor. Prezint un exemplu simplu pentru a evita scrierea unei fraze care poate fi ambiguă. Să presupunem că avem șapte adrese relevante pentru interogarea noastră, indexate 1, 2, …, 7, pentru care obținem matricea, cu 7 linii și 7 coloane, de adiacență perturbată explicată mai sus și calculăm vectorul propriu asociat valorii proprii 1 care este (0,234 0,135 0,420 0,012 0,025 0,075 0,099). Vă rog să observați că acest vector a fost scalat pentru ca suma elementelor lui să fie egală cu 1, ceea ce nu afectează rezultatul nostru (calitatea în raport cu cantitatea) dar are avantajul că îl face unic. Ideea de interpretare pe care o folosim este următoarea: o valoare mai mare pentru componenta vectorului propriu corespunzătoare adresei j (unul dintre numerele 1, 2, …, 7) înseamnă o relevanță mai mare. Prin urmare, întrucât ordinea elementelor vectorului propriu este 0,420 > 0,234 > 0,135 > 0,099 > 0,075 > 0,025 > 0,012, ierarhizarea celor șapte adrese de internet va fi 3 > 1 > 2 > 7 > 6 > 5 > 4, în care ,,mai mare” înseamnă ,,mai relevant pentru întrebarea noastră” și, prin urmare, lista pe care o vom primi ca răspuns va avea adresele, în ordinea descrescătoarea a importanței: 3, 1, 2, 7, 6, 5, 4. Să observăm că nu valorile precise ale elementelor vectorului propriu sunt importante (aspectul cantitativ) ci ordonarea lor (aspectul calitativ).

Bineînțeles că abordarea prezentată mai sus nu este scutită de întrebări pertinente: de ce ordonarea obținută este într-adevăr corespunzătoare importanței, de ce perturbarea nu afectează ordonarea sau, dacă o afectează în ce mod, se pot imagina alte metode de generare a matricei de adiacență, și multe altele. Pentru fiecare întrebare se pot furniza răspunsuri care vin din alte rezultate de matematică sau se pot genera alte probleme de matematică pe care le putem sau nu le putem rezolva. Exemplul prezentat aici este o schiță foarte aproximativă pentru algoritmul de ierarhizare a adreselor de internet (page ranking) utilizat de către compania Google. La vremea respectivă, sfârșitul secolului trecut, acesta a fost un salt calitative uriaș în lumea virtuală, motiv pentru care compania fondată de S. Brin și L. Page, a se vedea articolul lor [1], a devenit în scurt timp o afacere de multe miliarde de dolari. O descriere mai precisă din punct de vedere matematic se poate găsi în articolul  K. Bryan, T. Leise [2].

Comparare: (d) => (a). Ultimul proces de tranziție face legătura între rezultatul problemei din lumea reală și problema din lumea reală care a generat tot procesul de modelare matematică. În general, în această ultimă etapă se compară rezultatele obținute prin modelarea matematică cu măsurătorile și/sau observațiile pe care le avem la dispoziție sau le facem în mod direct asupra fenomenului care a generat problema din lumea reală. Această comparare poate fi făcută pentru aspectele cantitative cu alte metode matematice (statistica este de foarte multe ori folosită pentru asta) sau, în cazul focalizării pe aspectele calitative, compararea se face din această perspectivă: sunt rezultatele obținute din  modelul nostru matematic compatibile cu măsurătorile, observațiile, legile, sau teoriile pe care le-am folosit în modelare? Dacă da, în ce măsură? Dacă această măsură de compatibilitate este suficient de mare, pot merge înainte cu modelul obținut, dacă nu, mă întorc și reiau tot ciclul de modelare. Oricum, ideea mare care trebuie reținută de aici este că orice model matematic este o reprezentare a matematicii în lumea reală și deci o aproximare care poate avea diverse grade de acuratețe. Modelul matematic este valabil în anumite condiții pe care sunt obligat să le clarific și să le fac cunoscute. În cazul matricei de adiacență din algoritmul motorului de căutare Google, a fost nevoie să perturbăm această matrice pentru a ne situa în presupunerile teoremei Perron-Frobenius, cea care îmi garantează funcționarea algoritmului. Realitatea în care trăim este atât de complexă iar nivelul nostru de cunoaștere a acestei realități este atât de limitat încât orice model matematic suferă în mod intrinsec de imperfecțiune. Numai matematica, în lumea ei, este perfectă, pe când în lumea reală nu putem utiliza decât aproximări imperfecte ale acesteia. Una dintre distincțiile cele mai importante pe care trebuie să o facem între matematică și modele matematice este că, în matematică, orice afirmație este de forma: în cazul în care ipotezele A au loc atunci consecințele B se întâmplă, ceea ce implică limitarea funcționării modelelor matematice la cazul în care ipotezele pot fi verificate. Din păcate, sunt foarte mulți algoritmi inginerești care sunt utilizați în practică deși, sau ipotezele din modelele matematice nu sunt îndeplinite sau, pur și simplu, acești algoritmi nu au la bază niște modele matematice bine înțelese. Într-o discuție cu un informatician, acesta a mărturisit candid că dacă o aplicație pe care o proiectează funcționează în 80% dintre cazuri aceasta este considerată foarte bună și vandabilă. În schimb, dacă eu am o teoremă pe care o pot demonstra în proporție de 80%, nimeni nu mă va lua în serios cu această demonstrație până când nu am o demonstrație completă.

Printre celelalte procese de tranziție, care fiecare poate avea multe puncte critice, acest ultim proces de comparare, momentul adevărului, am putea spune, poate conduce la concluzia că toată această muncă a fost un succes, un eșec, sau câte puțin din fiecare. Foarte binele este dușmanul binelui și chiar dacă, pentru moment, un model matematic este considerat satisfăcător, asta nu înseamnă că trebuie să mă mulțumesc cu el. Iar dacă un model matematic este nesatisfăcător atunci tot circuitul modelării trebuie reluat o dată, și încă o dată, până când obținem rezultate sensibil comparabile cu observațiile directe.

Succes sau eșec. Revenind la algoritmul Google pentru ierarhizarea paginilor de internet, gradul de succes poate fi evaluat din mai multe puncte de vedere. Compararea cu rezultatele produse de algoritmii utilizați de către celelalte companii furnizoare de motoare de căutare a fost hotărâtoare. Ca succes de afacere a fost și continuă să fie considerat de un ordin de mărime foarte mare. Articolul lui Bryan și Leise [2] este intitulat foar glumeț: Vectorul propriu care valorează douăzeci și cinci de miliarde de dolari, algebra liniară din spatele Google. Trebuie să subliniem că saltul a fost produs în mod esențial de utilizarea matematicii de foarte bună calitate, în cazul nostru teorema Perron-Frobenius. Dar este acesta singurul punct de vedere pe care ar trebui să-l luăm în considerare pentru a cuantifica succesul? Ce putem spune despre punctul de vedere al utilizatorilor? Numai din descrierea foarte sumară de mai sus se poate observa că anumite date de intrare în matricea de adiacență pot fi manipulate și că, în mod artificial, anumite platforme de internet pot fi favorizate sau defavorizate de către compania Google. Mai mult, procedura de obținere a matricei adiacente poate fi făcută într-o altă manieră care să favorizeze anumite adrese și să defavorizeze altele. Mediul virtual de afaceri, de o diversitate extrem de mare, în care materia primă este informația, a explodat pur și simplu în ultimii ani și, ca în orice mediu de afaceri, sunt diverse grade de onestitate. Lumea virtuală care cucerește încet dar sigur societatea umană este o junglă, cu bune și cu rele. Dar dezinformarea, informațiile false și reclamele care ne copleșesc au făcut ca această lume virtuală  să devină într-o anumită măsură inutilizabilă. Noi am prezentat aici, ca un exemplu de algoritm de căutare pentru a explica procesul de modelare matematică, doar exemplul Google, dar acesta reprezintă doar o mică parte dintre algoritmii care stau în spatele altor platforme de rețele sociale. În necunoștință de cauză, o primă reacție, pe care am văzut-o de multe ori, este că ,,matematica este vinovată pentru toate astea”. Eu sper ca cititorii acestui articol să poată face diferența de acum înainte între matematică și modelele matematice. Ceea ce trebuie spus foarte răspicat este că lipsa de onestitate în utilizarea aparatului matematic nu poate fi imputată matematicii, care funcționează independent de voința oamenilor, ci a modului în care modelele matematice sunt utilizate. O replică dintr-un film celebru (Indecent Proposal, 1993) este cam așa: la întrebarea unui profesor de arhitectură în timpul unei lecții la un colegiu comunitar, ,,Cum poate fi folosită o cărămidă?”, acesta primește două răspunsuri, ,,O cărămidă poate fi folosită ca să construiești o casă.” și ,,O cărămidă poate fi folosită ca să omori un om.” Decizia este a celui care o folosește, nu a celui care a produs-o. 

Între complexitate și fezabilitate

Procesul de modelare matematică prezentat și explicat succint mai sus trăiește între două cerințe contradictorii. Pe de o parte, avem nevoie de un model matematic care să cuprindă cât mai precis caracteristicile fenomenului/problemei pe care dorim să îl/o înțelegem, ceea ce conduce la un grad de complexitate foarte mare. Pe de altă parte, avem nevoie ca modelul matematic să fie fezabil în sensul că matematica să aibă deja formulate rezultate bine stabilite și verificate pentru acest model matematic iar, dacă nu le are, cel puțin ca rezultatele necesare să poată fi obținute într-un timp suficient de scurt pentru a le putea utiliza. Viața practicanților matematicii aplicate și a multora dintre utilizatorii ei se petrece între nicovala fezabilității și ciocanul complexității modelelor matematice. De multe ori, primele încercări de modelare conduc la modele cu mult prea complexe pentru a fi fezabile, după care urmează procese de ajustare pentru a le face fezabile dar fără a periclita esența fenomenului studiat. Modelarea matematică este un exemplu de activitate în care optimul este greu de obținut și multe încercări sunt necesare pentru a ne apropia de un rezultat care să fie suficient de complex dar și fezabil în același timp.

În mod poate paradoxal, complexitatea extremă a unor probleme de matematică poate fi utilizată în avantajul nostru. În urmă cu câțiva ani, la un congres al matematicienilor români ținut la Galați, am asistat la o conferință a unui informatician, reprezentant al unei companii de informatică, care a vorbit despre utilizarea geometriei algebrice în criptografie. Geometria algebrică este un domeniu al matematicii pure care cu greu ar fi putut fi alăturat matematicilor aplicate. Interesul informaticienilor pentru geometria algebrică se datorează faptului că, în perspectiva creșterii puterii de calcul și a calculatoarelor cuantice, algoritmii utilizați în prezent în criptografie și bazați pe teoria numerelor, factorizarea numerelor mari prin numere prime, sunt amenințați în mod dramatic. Geometria algebrică furnizează algoritmi bazați pe probleme a căror complexitate transcende chiar și puterii calculatoarelor cuantice. https://mindcraftstories.ro/stiinta/criptografie-2-securitatea-si-geometria/

În general, rezultatele de matematică sunt de multe ori obținute cu mult timp mai înainte de a-și demonstra utilitatea în cadrul modelelor matematice iar, uneori, nici măcar nu ajung să-și demonstreze utilitatea, lăsând această perspectivă deschisă viitorului. Pe de o parte, foarte multe rezultate puternice din matematică sunt obținute din pură curiozitate științifică iar, pe de altă parte, alte rezultate puternice din matematică sunt produse abia după ce sunt generate de modelarea matematică și de cerințele imperioase de a furniza soluții. Dar influența funcționează și în sens opus: foarte multe dintre problemele de interes curent în matematică sunt generate de modele matematice care cer soluții. Din această cauză, adepții utilitarismului matematicii sunt nemulțumiți de faptul că matematicienii nu se ocupă numai de problemele ale căror soluții sunt cerute în prezent. Matematicienii care practică doar matematica pură au o anumită independență din acest punct de vedere și, de cele mai multe ori, nu-și câștigă existența din asta ci doar din predarea matematicii contemporane generațiilor de tineri care se pregătesc pentru o profesie în care matematica este necesară, vezi cazul prezentat mai sus al lui Oskar Perron și Georg Frobenius. Unul dintre aforismele lui Grigore Mosil spune așa: ,,Azi facem matematica ce va fi folosită mâine şi mai ales poimâine. Că dacă n-am face-o azi, poimâine ar trebui s-o importăm.”. https://leviathan.ro/aforisme-de-grigore-moisil/

Epoca modernă folosește matematica în mod esențial, din ce în ce mai mult și de foarte bună calitate, dar, pe aceasta, cei mai mulți dintre noi nu o vedem. Ceea ce cei mai mulți dintre noi vedem este doar consecința utilizării matematicii, pe când matematica folosită, motorul cunoștințelor și tehnologiilor moderne, este undeva, în adâncuri, bine ascunsă ochilor noștri. Sapă suficient de adânc în orice și vei da de matematică, citat apocrif Dean Schlicter.

Referințe

[1] S. Brin, L. Page, The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine, Computer Networks and ISDN Systems 30(1998), 107- 117. http://ilpubs.stanford.edu:8090/361/1/1998-8.pdf

[2] K. Bryan, T. Leise, The 25,000,000,000 $ eigenvector, the linear algebra behind Google, SIAM Rev., 48(3)(2006), 569-581. https://www.rose-hulman.edu/~bryan/googleFinalVersionFixed.pdf

[3] H. Cairns, A short proof of Perrons theorem, Cornell University, April 2014. http://www. math.cornell.edu/~web6720/Perron-Frobenius_Hannah%20Cairns.pdf

[4] G. Frobenius, Über Matrizen aus nicht negativen Elementen, Sitzungsberichte der Königlich Prüssischen Akademie der Wissenschaften, (May 1912), 456477. http://www.e-rara.ch/doi/10.3931/e-rara-18865

[5] O. Perron, Zur Theorie der Matrizen., Mathematische Annalen 64(1907), 248-263. http://eudml.org/doc/158317