Preambul
Titlul acestui eseu este o traducere liberă a titlului articolului recent al lui Claudio Novellia și Luciano Floridi [NF] disponibil aici, pe care mi l-a semnalat Adriana Monica Solomon în contextul unui schimb de mesaje pe tema dezvoltărilor recente raportate de OpenAI cu privire la soluțiile a zece probleme de matematică și informatică cu ajutorul inteligenței artificiale. Mai precis, comunitatea științifică a primit sâmbătă pe 1 august informația că un model de limbaj mare, pe nume ASTRA, care deocamdată nu este disponibil pentru publicul larg, a rezolvat zece probleme de cercetare matematică foarte importante, pentru care nu se cunosc soluții de o bună bucată de vreme, și care constituie subiecte fierbinți de cercetare. Acest anunț a creat mare vâlvă în lumea științifică, matematică dar nu numai, cu diverse reacții, de la entuziasm până la prudență sau chiar rezervă. După cum spuneam în articolul despre agenții de inteligență artificială care pot face tot lanțul de cercetare [AG], disponibil aici, dezvoltarea pe această direcție se precipită iar evoluțiile sunt rapide și uneori surprinzătoare. Dintre multele întrebări pe care această direcție de dezvoltare le ridică, cele legate de viitorul statut al cercetătorului sunt de mare actualitate. Răspunsurile sunt diferite, de la entuziasm la depresie, de la curiozitate la indiferență.
Anunțul cu cele zece probleme de cercetare matematică rezolvate de modelul ASTRA, la un cost evaluat de companie de doar 2000 de dolari, a luat prin surprindere comunitatea științifică internațională și a stârnit mare vâlvă. Cele zece probleme atacate fac obiectul unui manuscris de 249 de pagini [OA], disponibil aici, conținând zece articole în format științific cu prezentarea riguroasă a soluțiilor și sub semnătura OpenAI. Problemele au un grad de împrăștiere destul de mare, mergând de la geometrie, topologie, și analiză funcțională, până la teoria cuantică a informației, criptografie, și teoria grafurilor. Conform declarațiilor companiei, corectitudinea demonstrațiilor a fost stabilită cu ajutorul asistentului de verificare a demonstrațiilor formale Lean, adică tot cu ajutorul unui model de inteligență artificială. În contextul competiției acerbe din zona inteligenței artificiale, evenimentul a fost marcat ca un avans considerabil pe care compania OpenAI l-a luat față de concurență. De ce atâta preocupare pentru probleme de matematică, această cenușăreasă a lumii contemporane? Poate că, la urma urmei, afirmația conform căreia matematica este motorul progresului civilizației contemporane este cunoscută segmentelor de populație care contează, sau poate că gradul mare de aplicabilitate al unora dintre aceste rezultate le face valoroase, sau poate că dificultatea în sine a problemelor și aura de campion pentru cei care le rezolvă să fi fost principala motivație. Nu este scopul nostru să răspundem acestei întrebări și cu siguranță răspunsurile pot fi foarte diverse. Nu mă pot însă abține să nu comentez afirmația, foarte discutabilă, conform căreia costurile pentru producerea acestor soluții și a articolelor respective au fost de doar 2000 de dolari. Una dintre conotațiile acestei afirmații este aceea de comparație: cât ar fi costat munca cercetătorilor umani care ar fi produs aceste rezultate și, prin urmare, care sunt avantajele pe care le prezintă utilizarea modelelor de inteligență artificială în comparație cu utilizarea cercetătorilor umani? Mai simplu spus, mai avem nevoie de cercetători umani? Din punct de vedere strict economic, se pare că nu. Punct ochit, punct lovit. Dar viața nu se fundamentează doar pe aspectele economice, din fericire. În cele ce urmează, pun în evidență o scurtă desfășurare a evenimentelor recente, cu detalii mai mult sau mai puțin tehnice asupra uneia dintre problemele ,,rezolvate”, și în final, răspunsul formulat de Novellia și Floridi la întrebare: Dar nouă, cercetătorilor, ce ne mai rămâne de făcut?
În cele ce urmează mă opresc, în mod discursiv și cât mai puțin formalizat, doar asupra uneia dintre cele zece probleme ,,rezolvate” de modelul ASTRA, din cel puțin două motive. Primul motiv este că această problemă este mai aproape de domeniul meu de competență, iar al doilea motiv este că, în acest caz, reacția comunității a fost rapidă și, în același timp, aruncă o lumină de o factură foarte interesantă asupra relație complicate dintre om și mașină și pregătește terenul pentru răspunsul lui Novellia și Floridi.
Puțin despre grupuri, în sens matematic
Unul dintre cele mai profunde și utile concepte de matematică este acela de grup. Această noțiune face parte din bagajul de cunoștințe matematice pe care orice absolvent al unui liceu teoretic se presupune că îl are, dar să nu contăm pe asta și să reamintim pe scurt în ce constă. Un grup este o mulțime G pe care este definită o operație binară de compunere, notată de obicei multiplicativ, care este asociativă, pentru care există un element unitate, pe care îl notăm cu e, ceea ce înseamnă că ae=ea=a, pentru orice element a din G, și astfel încât orice element a din G are un unic invers a-1, adică, a-1a=aa-1=e. Conceptul matematic de grup, în format explicit, a apărut în urmă cu vreo două sute de ani la Évariste Galois (1811-1832), genialul matematician francez care a pus bazele teoriei grupurilor în contextul problemei existenței formulelor cu radicali pentru rezolvarea ecuațiilor algebrice cu grad mai mare sau egal cu cinci. Teoria grupurilor este o parte esențială a algebrei abstracte și face parte din bagajul de cunoștințe obligatorii al oricărui absolvent cu licență în matematică, dar conceptul de grup transcende domeniul algebrei și este esențial atât în geometrie cât și în analiza matematică.
Un exemplu simplu, dar relevant, din geometrie, este grupul transformărilor unui triunghi echilateral, care constă în rotațiile de unghiuri multiple de 120º și reflexiile față de cele trei înălțimi. Acest exemplu simplu este important întrucât ideea de grup conține ideea de simetrie, adică o transformare care îl lasă invariant și, în particular, ideea de frumusețe. Practic, grupul transformărilor unui triunghi echilateral acționează asupra triunghiului și acesta poate fi caracterizat exact prin grupul lui de simetrii. Mai jos aveți o descriere completă a acestui grup, care se numește grupul diedral D3. Acest grup are doar 6 elemente, iar tabla înmulțirii este redată prin așa numita diagramă Cayley, de la matematicianul englez Arthur Cayley (1821–1895).
Ideea de grup este atât de valoroasă în matematică încât a condus la rezultate și consecințe remarcabile. Teoremele Emmy Noether (1885-1935), care au fost obținute inițial din considerente matematice, s-au dovedit peste zeci de ani fundamentale pentru înțelegerea fizicii: fiecărei legi de conservare îi corespunde o simetrie (invarianță la acțiunea unui grup) a sistemului fizic subiacent. Eugen Wigner (1902-1995) a înțeles că pentru înțelegerea particulelor elementare este nevoie să înțelegem reprezentările ireductibile ale grupului de simetrie a sistemului cuantic subiacent. Pentru o prezentare istorică a grupurilor, discrete și mai ales topologice, și reprezentările lor, cei interesați sunt invitați să citească cele douăzeci de pagini de introducere, paginile v-xxiv din [CG], disponibilă aici.
Să vorbim puțin despre algebrele von Neumann
În domeniul analizei funcționale, un domeniu extrem de important este acela al algebrelor de operatori și, în special, cel al algebrelor von Neumann. Pentru a da o idee despre ce înseamnă o algebră von Neumann, trebuie să facem o mică incursiune în fundamentarea matematică a fizicii cuantice. În fizica cuantică, există trei modele matematice principale: modelul lui Erwin Schrödinger (1887-1961) cu ecuații diferențiale, modelul lui Werner Heisenberg (1901-1976) cu matrice, și modelul lui Paul Dirac (1902-1984) care se bazează pe o anumită dualitate. În afară de aceste trei modele matematice din fizică, există modelul din fizica matematică al lui John von Neumann (1902-1957), care se bazează pe teoria operatorilor în spații Hilbert. Un spațiu Hilbert este un spațiu vectorial (în general, de dimensiune infinită și preferabil peste corpul numerelor complexe) în care există un produs scalar, în particular are sens conceptul de vectori ortogonali, și care induce o anumită topologie cu anumite proprietăți. Ca o paranteză, von Neumann a studiat matematica pentru câțiva ani sub îndrumarea lui David Hilbert (1863-1943) la Universitatea din Göttingen și, deși Hilbert a lucrat doar cu un caz particular al ceea ce noi numim astăzi spațiu Hilbert, el a dat acest nume conceptului abstract, și pe bună dreptate. De fapt, spațiile Hilbert de care avem nevoie aici sunt tocmai acelea considerate de el: închipuiți-vă un spațiu infinit dimensional cu un sistem de coordonate ortogonale, și pe care îl notăm cu l2(N), unde N este mulțimea numerelor naturale.
Von Neumann a definit conceptul de inel de operatori, ceea ce mai târziu va fi numit algebră von Neumann, adică o mulțime constând în transformări liniare și continue într-un spațiu Hilbert, înzestrată cu operația de adunare, operația de înmulțire (compunere), și o a treia operație de înmulțire cu scalari (de obicei, numere complexe), cu o involuție a → a*, careconține identitatea, șiare anumite proprietăți topologice. Una dintre ideile principale din teoria algebrelor de operatori este exploatarea ortogonalității, oferită de spațiile Hilbert subiacente, prin proiecțiile ortogonale. Geometria proiecțiilor ortogonale din interiorul algebrei von Neumann conferă acesteia una dintre cele mai bogate structuri matematice. Însă trăsătura esențială este faptul că produsul este, în general, necomutativ, ceea îi conferă o putere extraordinară în modelarea proceselor din fizica cuantică. Lumea fizicii la nivelul cuantic este complet diferită de lumea fizicii la nivelul perceptibil de oameni prin simțuri iar singurul instrument de investigație rămâne matematica, prin modelele matematice imaginate de către oameni și care servesc ca un al șaselea simț. Aspectul necomutativ este ilustrat de observația că, dacă facem două măsurători A și B, în această ordine, asupra unui sistem cuantic, rezultatul va fi diferit dacă facem măsurătorile în ordinea B și A, ceea ce, la începutul secolului al douăzecilea, a condus la modelele matematice enumerate mai sus, toate necomutative. Poate exemplul cel mai elocvent în acest sens a fost răspunsul lui Heisenberg la întrebarea cum i-a venit ideea modelului matricial: în tinerețe a luat un curs de algebră liniară și și-a amintit că produsul matricelor nu este comutativ.
În decada 1930, von Neumann, parțial în colaborare cu F.J. Murray (1911-1996), a dezvoltat teoria algebrelor von Neumann într-o serie de șase lucrări care au rămas un monument al analizei matematice din secolul al douăzecilea. În funcție de anumite caracteristici ale proiecțiilor ortogonale, algebrele von Neumann se clasifică în trei tipuri: I, II, și, III. Von Neumann a reușit destul de bine să studieze și să clasifice tipurile I și II, dar clasificarea algebrelor de tip III a rămas deschisă pentru o buna perioadă de timp. Contribuția cea mai importantă în studiul clasificării algebrelor von Neumann de tip III o are Alain Connes (1947), pentru care a primit medalia Fields, considerată cea mai înaltă distincție matematică, în 1982. O altă realizare excepțională a lui Connes este geometria necomutativă, o teorie care îmbină algebrele de operatori cu geometria diferențială [C].
Ca o paranteză istorică, în anii 1970 și 1980, București a fost unul dintre centrele cele mai puternice de cercetare a algebrelor von Neumann prin Silviu Teleman, László Zsidó, Șerban Strătilă, Dan-Virgil Voiculescu, Sorin Popa, Mihai Pimsner, și mulți alții care, după 1990 s-au risipit în lumea academică din alte țări. Alain Connes a avut relații de colaborare cu școala românească de algebre de operatori o lungă perioadă de timp și a vizitat București în 1987. Printre principalele monografii în domeniul algebrelor von Neumann, după care au studiat generații și generații de matematicieni din întreaga lume, sunt Strătilă-Zsidó [SZ] și Strătilă [S]. În monumentala teorie matematică a probabilităților libere a lui Dan-Virgil Voiculescu, se arată că problema lui Connes de scufundare este legată de existența microstărilor din teoria probabilităților libere.
Conjectura lui Alain Connes de rigiditate
În matematică, obiectele, cum ar fi grupurile, sunt considerate identice dacă au, tehnic vorbind, aceeași structură, mai precis, există o transformare de la un grup la celălalt, numită izomorfism, care este bijectivă (adică este unu-la-unu și are imagine totală) și care păstrează operația de înmulțire. De exemplu, grupul diedral D3 este izomorof cu grupul S3 al permutărilor unei mulțimi cu trei elemente. Fiind dat un grup G, este important de a găsi criterii prin care un alt grup este izomorf cu G. Grupurile pot fi studiate, în mod indirect, cu ajutorul altor structuri matematice care oferă avantaje tehnice, de exemplu algebrele von Neumann. Fiecărui grup G i se poate asocia o algebră von Neumann L(G) care acționează pe spațiul Hilbert l2(G), mai precis, prin reprezentarea regulată stângă a lui G pe l2(G), care tehnic înseamnă o acțiune pe baza ortonormală (sistemul de coordonate ortonormal) al lui l2(G), extinderea prin liniaritate, urmată de o completare într-o anumită topologie slabă. Afirmați este valabilă și în sens invers: informații despre algebre von Neumann și exemple utile pot fi obținute studiindu-le pe acelea care provin din anumite grupuri.
Alain Connes a formulat, în tratatul său de geometrie necomutativă [C], așa numita conjectură de rigiditate, mai precis, el a afirmat, fără să poată furniza nicio demonstrație dar având motivații foarte puternice, că fiind dat un grup numărabil G și care îndeplinește condiția ICC (clase de conjugare infinite, unde pentru a din G, elementele de forma gag-1 alcătuiesc clasa de conjugare a lui a) și are proprietatea (T) a lui Kazhdan, dacă H este un al doilea grup numărabil și algebrele von Neumann L(G) și L(H) sunt izomorfe, atunci grupurile G și H sunt izomorfe. Grupurile G numărabile care au această proprietate se numesc W*-superrigide. Această conjectură este importantă din mai multe puncte de vedere. În primul rând, dacă ar fi adevărată, aceasta ar însemna că o proprietate analitică, a algebrei von Neumann asociată grupului, conține toată informația grupului și deci ar permite recuperarea completă. Apoi, se știe că algebra L(G) asociată unui grup cu proprietatea ICC este un factor de tip II1 (un factor este o algebră von Neumann cu proprietatea că numai multiplii identității comută cu toată algebra), ceea ce ar furniza un dicționar de traduceri ale proprietăților grupurilor în proprietăți ale algebrelor von Neumann și invers. De asemenea, această conjectură are legătură foarte strânsă cu o problemă deschisă de teoria deformărilor și a rigidității a lui Sorin Popa formulată în 2013 în [P]. Rezultate remarcabile asupra acestor probleme au fost obținute și de către Adrian Ioana [I]. Cercetări asupra teoriei rigidității se fac și de către cercetători de la IMAR (Institutul de Matematică ,,Simion Stoilow” al Academiei Române) și cu rezultate remarcabile.
Rezolvări și pararezolvări
În manuscrisul [O], în capitolul patru intitulat Un contraexemplu la conjectura lui Connes de rigiditate se afirmă și se ,,demonstrează” că ceea ce Connes a conjecturat nu este adevărat, mai precis, sunt prezentate două grupuri G și H care infirmă această conjectură. În plus, acest rezultat ,,rezolvă” și problema formulată de Sorin Popa. La o zi după aceea a apărut lucrarea lui Jenny Lorraine Nielsen [N], disponibilă aici, care mi-a fost semnalată de către Victor Lie, și care arată că demonstrația care infirmă conjectura lui Connes are probleme structurale fundamentale care o descalifică. Mai precis, afirmația lui Nielsen este că demonstrațiile sunt corecte dar ele nu infirmă conjectura, sau altfel spus, rezultatele obținute nu susțin infirmarea conjecturii. Ceea ce a făcut Nielsen a fost să analizeze codul din programul Lean care a verificat corectitudinea demonstrațiilor în așa fel încât să stabilească corespondența cu formalizarea matematică din enunț și să constate că acestea nu corespund cu cerințele conjecturii. Aceasta este o lacună structurală care spune că demonstrațiile sunt corecte dar se referă la alte afirmații, nu la cele legate de conjectură. Nielsen a mai descoperit o altă lacună care ține de transformările care se fac și de metodele subiacente utilizate. Mai mult, ea pune sub semnul întrebării afirmația că unul dintre grupuri satisface condiția ICC și chiar proprietatea (T) a lui Kazhdan.
Dacă privim acest conflict dintr-un punct de vedere mai general, aici este vorba despre o situație, semnalată în trecut și de către Terence Tao, și anume că verificarea corectitudinii unei demonstrații produsă de un model de inteligență artificială de către un agent autonom de inteligență artificială are nevoie de un supervizor uman care să confirme că demonstrația corespunde într-adevăr unei anumite teoreme și nu unei alte teoreme imaginată de model și care nu are legătură prea mare cu cerințele inițiale. Asta îmi amintește de o discuție avută cu un student care a contestat nota primită la un examen scris pe motivul că ceea de a demonstrat el era corect, iar răspunsul meu, după recitirea cu atenție a demonstrației studentului, a fost că, într-adevăr, demonstrația lui a fost corectă dar aceasta corespundea unei alte afirmații și nu celei care a fost cerută în problema dată la examen.
Anvelopa convexă a cunoașterii matematice
Spuneam în eseul [G], disponibil aici, în linia ideilor expuse de Ionel Popescu în conferința lui de la IMAR asupra utilizării inteligenței artificiale în cercetarea matematică, că în viitorul apropiat vom vedea cum rezultate noi de matematică vor fi obținute în acest mod, dar aceasta se va întâmpla în zona de cunoaștere actuală, obținută în timp prin activitatea matematicienilor și accesibilă în format electronic, plus ceea ce se mai produce în prezent prin metode virtuale. Pentru o prezentare mai sugestivă cu ajutorul imaginilor, să ne imaginăm corpul cunoștințelor de matematică ilustrat ca mai jos. Dezvoltarea istorică a cunoștințelor matematice a făcut ca acest corp să aibă găuri (în limbaj matematic, nu este simplu conex) și are și componente complet separate (nu este nici conex). Altfel spus, sunt zone în cunoașterea matematică care au fost ocolite și nu au fost explorate din diverse motive.
Din cunoștințele mele despre algoritmii de generare a rezultatelor de matematică, rezultă că ceea ce se poate spera este ca, având două sau mai multe zone de cunoaștere efectivă, să putem genera noi rezultate care se pot obține din acestea. Din scurta prezentare a atacării conjecturii lui Connes rezultă, la modul foarte aproximativ și folosind un limbaj vag, că se poate interpola între cunoștințe, prin puterea de prelucrare foarte mare a modelelor de inteligență artificială generativă. Am explicat pe scurt în [G] modul de operare al modelelor de inteligență artificială generativă prin transformatoare, ceea ce susține ideea că, ce se poate obține prin acești algoritmi sunt combinații foarte sofisticate bazate pe antrenarea algoritmilor pe cunoștințele existente produse uman plus produsele virtuale. În ilustrație și la modul metaforic, asta înseamnă că putem obține rezultate pe segmentul de dreaptă care unește cele două puncte, A și B, ceea ce în exprimare matematică se poate formula prin afirmația că putem obține combinații convexe de A și B. Întrucât în acest segment avem și zone cunoscute, putem utiliza aceste zone pentru testare, ceea ce crește eficiența procesului de învățare foarte mult.
Să mergem acum cu raționamentul mai departe. Avem două zone întregi cu rezultate matematice, A și B, pe care putem conta și modelul găsește și două rezultate mai izolate față de acestea, C și D, pe care dorim să le combinăm. Prin modele de inteligență artificială am putea să obținem rezultate dintr-o întreagă zonă care este anvelopa convexă generată de mulțimile A, B, C, și D. Bineînțeles, convexitatea este iarăși o exprimare metaforică, poate fi înlocuită cu anvelopa polinomială sau cu ceva mai sofisticat. Nu am investigații cantitative în această direcție așa că aceste considerații trebuie privite la modul metaforic. Realitatea este mult mai complexă decât ceea ce putem explica aici, importantă este ideea generală.
În felul acesta, utilizând puterea extrem de mare a modelelor de inteligență artificială generativă și având în vedere progresul foarte rapid din acest domeniu de inginerie, în curând vom asista la umplerea găurilor și la conectare întregului corp de cunoștințe matematice, în special multe conjecturi vor cădea. Sper că ideea generală este clară. Dar, în știință și, în special în matematică, pe de o parte, orice nou rezultat ridică foarte multe alte întrebări și, pe de altă parte, cel mai important este să pui întrebările potrivite care să conducă la rezultate noi. Deocamdată, speranța că vom putea utiliza modelele de inteligență artificială generativă pentru a deschide bulevarde noi în cunoașterea matematică este mică. Pentru aceasta, încă avem nevoie de cercetători umani și de creativitatea acestora. Această nouă paradigmă ridică niște probleme complet noi pentru umanitate: cum se vor adapta cercetătorii tineri (fiindcă cei bătrâni au fost formați în epoca pre inteligență artificială și sunt mai protejați) la noua realitate?
Activitatea științifică de a doua generație
În epoca post inteligență artificială generativă, întoarcerea la forma clasică de cercetare științifică nu mai este posibilă. La nivel individual, negarea acestei stări de fapt este complet contraproductivă. Prin urmare, comunitatea științifică trebuie să găsească niște căi inteligente de asumare și de adaptare. Claudio Novellia și Luciano Floridi și-au pus această problemă iar răspunsul lor pe larg este conținut în lucrarea recentă [NF]. Pe scurt, inteligența artificială generativă poate compromite cercetarea științifică prin erodarea fundamentelor acesteia și distrugerea sistemului de valori pe care aceasta este construită. Activitatea de cercetare nu poate fi redusă la rezultatele finale în maniera pe care o promovează și simulează inteligența artificială generativă, întrucât esența acesteia este formată de căile prin care rezultatele sunt obținute și validate. Atunci când cercetătorul delegă activitatea de cercetare științifică unor algoritmi, el renunță la esența actului de cercetare și, prin urmare, la rolul formativ al acesteia. Un rezultat de cercetare științifică obținut prin inteligența artificială generativă pare, la prima vedere, un progres dar, în același timp, cercetătorul din spatele ei regresează. Simpla implicare a cercetătorului în bucla dialogului cu algoritmii de inteligență artificială generativă este insuficientă pentru formarea profesională a acestuia. Ceea ce trebuie să facem acum este să reinventăm actul cercetării științifice prin care, în mod real și nu virtual, să formăm deprinderea de a face raționamente complexe printr-o stare continuă de interogare, argumentare, și participare activă într-o comunitate umană de cercetători. Motivația principală pentru care această formă de activitate de cercetare științifică trebuie protejată și promovată vine din faptul că există patru componente esențiale care nu pot fi automatizate: cunoașterea tacită, angajamentul personal, socializarea, și asimilarea profundă. Aceste patru componente alcătuiesc ceea ce Novellia și Floridi numesc în [NF] activitatea de cercetare de generația a doua, prin care ei înțeleg recuperarea meșteșugului cercetării științifice în epoca post inteligență artificială generativă. Ei au ajuns la formularea acestor afirmații în urma experiențelor cu inteligența artificială generativă, cu ceea ce poate aceasta să facă și cu ceea ce nu poate să facă. Evenimentele recente legate de cele zece probleme ,,rezolvate” de către ASTRA constituie alte argumente care susțin afirmațiile lor. Acesta este răspunsul lor la întrebarea: Dar nouă, cercetătorilor, ce ne mai rămâne de făcut? La care și eu, în mare parte, subscriu.
N.B. Cele trei imagini folosite în acest eseu sunt produse de ChatGPT, versiunea liberă, în urma unui dialog de aproximativ zece minute. Textul și informațiile din text sunt produse de mine, utlizând doar cunoștințele mele și referințele de mai jos, fără nicio intervenție exterioară cu modele de inteligență artificială generativă.
Referințe
[CG] Ion Colojoară, Aurelian Gheondea, Lectures on Representations of Locally Compact Groups, Fundația Theta, București 2018, disponibil aici.
[C] Alain Connes, Noncommutative Geometry, Academic Press, San Diego, 1994.
[G] Aurelian Gheondea, Către automatizarea cap-coadă a cercetării științifice cu inteligența artificială. Câteva opinii asupra noii paradigme, Contributors din 19/05/2026, disponibil aici.
[I] Adrian Ioana, Rigidity for von Neumann algebras, in Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2018, Vol. III, World Scientific, 2018, 1639–1672.
[N] Jennifer Lorraine Nielsen, On the Invalidity of the Claimed Disproof of Connes’s Rigidity Conjecture, August 2026, disponibil aici.
[NF] Claudio Novellia, Luciano Floridi, What is Left for US? Second Scholarship against the Degradation of Research by AI, ariXiv:2607.04049 [cs.AI] disponibil aici.
[OA] OpenAI, Ten Advances în Mathematics and Theoretical Computer Science, 1st of August 2026, disponibil aici.
[P] Sorin Popa, Some open problems in W*-rigidity, problem list, Paris, June 2013, https://www.math.ucla.edu/~popa/ProblemsJune2013.pdf.
[S] Șerban Strătilă, Modular Theory în Operator Algebras, Bucureşti 1981: Editura Academiei. Tunbridge Wells, Kent: Abacus Press. 492 p.
[SZ] Șerban Strătilă, László Zsidó, Lectures on von Neumann Algebras, București 1975,
Editura Academiei. Tunbridge Wells, Kent: Abacus Press.
