Matematica 2.0. Cât de diferită este gândirea matematică umană de gândirea matematică a inteligenței artificiale?

Preambul

Compania OpenAI a declanșat un șoc uriaș în comunitatea matematicienilor în data de 6 octombrie 2026 când, utilizând o versiune experimentală a modelului de limbaj mare generativ ChatGPT, care este indisponibilă publicului, a atacat în jur de patru mii de probleme deschise de cercetare matematică, publicând aproximativ șapte sute de articole în care ,,rezolvă” o bună parte dintre aceste probleme, a se vedea [OA] disponibil aici precum și articolul lui Davide Castelvecchi [DC]. Aceste probleme de cercetare acoperă o zonă foarte mare din  matematică: teoria numerelor, geometrie algebrică, analiză reală și complexă, geometrie metrică și complexă, informatică teoretică, sisteme dinamice și teorie ergodică, combinatorică, algebră, teoria probabilităților și statistică matematică, logică matematică, teoria grupurilor, fizica matematică, algebre de operatori, topologie, analiză funcțională, geometrie diferențială, și ecuații cu derivate parțiale. Pentru un cunoscător, pare o listă cu aproape toată matematica avansată. Aceste articole sunt disponibile aici [OA1].

Compania a utilizat anterior, pentru abordarea problemei Navier–Stokes, un sistem cu aproape zece mii de agenți de inteligență artificială care au lucrat colaborând sau intrând în competiție unii cu alții, a se vedea [OA2]. Pentru rezultatele anunțate pe 6 octombrie, compania estimează un consum mediu de calcul echivalent cu aproximativ trei ore de raționament ChatGPT Pro pentru fiecare rezultat, a se vedea [OA]. Practic, aceasta este o demonstrație a automatizării actului esențial din matematică, și anume acela de a rezolva probleme deschise foarte grele de matematici superioare. Cunosc mai mulți matematicieni care mi-au declarat la scurt timp după aceea că această avalanșă de articole le-a măturat pur și simplu programele de cercetare pentru ei și studenții lor doctoranzi pentru următorii zece ani și că șocul suferit este imposibil de exprimat în cuvinte.

Există o întreagă paletă de atitudini ale matematicienilor din toată lumea față de aceste evenimente, mergând de la entuziasm până la disperare. În același timp, această avalanșă de soluții a stârnit și foarte multe controverse. Maniera în care articolele sunt scrise de către agenții de inteligență artificială este de foarte multe ori atât de dezlânată încât unele dintre articole sunt aproape de neînțeles chiar și pentru matematicienii care sunt printre cei mai buni specialiști în domeniul problemelor respective. Până de curând, aceste demonstrații au fost ,,verificate” cu ajutorul unui alt algoritm denumit Lean. Un grup de matematicieni s-a angajat în efortul suprem de a verifica și reface aceste demonstrații într-o manieră care să le facă acceptate, sau respinse, de către comunitatea matematicienilor. Alți matematicieni s-au declarat îngroziți de perspectiva de a ceda matematica mașinilor și cer imperativ distanțarea de articolele generate de inteligența artificială. Un articol foarte recent al lui Sergiu Klainerman oferă o perspectivă și câteva posibile soluții, a se vedea [SK].

În articolul precedent, cel despre cercetarea matematică în epoca inteligenței artificiale, a se vedea [AG3], scris cu ceva timp mai înainte ca aceste evenimente să aibă loc, am prezentat câteva argumente pentru afirmația că ceea ce se va întâmpla cât de curând va fi că aceste mașini de inteligență artificială vor ,,umple găurile” din cunoașterea matematică tranșând unele dintre conjecturile celebre din matematică, prin utilizarea intensivă și extensivă a cunoașterii matematice existente. Unul dintre motive este capacitatea extraordinară pe care aceste modele o au, prin proiectare și antrenare, de a efectua raționamente matematice complexe utilizând matematica existentă la o amploare și viteză imposibile ființelor umane. O explicație semantică: o conjectură este o afirmație matematică pe care unul sau mai mulți matematicieni o cred adevărată și o enunță într-un articol sau o comunicare, dar pentru care nu posedă o demonstrație. Aceste conjecturi, unele vechi de zeci de ani, sunt extrem de importante în matematică fiindcă dau direcțiile majore de cercetare iar matematica dezvoltată pentru a tranșa aceste conjecturi este uneori mai importantă decât conjecturile în sine.

Provocările pe care aceste evenimente le-au pus în fața societății umane sunt uriașe. Poate că este timpul să ne ridicăm privirea de pe foile pe care desenăm simboluri matematice de neînțeles pentru neinițiați și să discutăm despre câteva probleme pe care le-am abandonat în această lume grăbită, care nu mai are timp cu noi și ne mână de la spate spre ceva pe care nu-l știm și nici măcar nu-l intuim. Printre întrebările pe care ar trebui să ni le punem sunt și acestea: Care este esența gândirii matematice umane? Prin ce se deosebește gândirea matematică umană de gândirea matematică a inteligenței artificiale? Cum pot cele două forme de gândire matematică să coexiste în avantajul omenirii? Ce se schimbă în activitatea intelectuală umană atunci când instrumentele create de noi încep să rivalizeze cu noi înșine?

Educația matematică umană

Educația matematică începe timpuriu, din primele clase elementare sau chiar mai devreme, dar talentul matematic, ceea ce diferențiază pe cei puțini, care vor îmbrățișa ca profesie matematica pentru toată viața, de ceilalți care rămân cu o educație matematică doar atât cât să poată face față vieții moderne, se afirmă în jurul vârstei de cincisprezece ani. Pentru un tânăr care hotărăște să-și dedice viața profesională matematicii, urmează o muncă uriașă de educație matematică intensă, rezolvarea de probleme de matematică din ce în ce mai dificile, înțelegerea și interiorizarea conceptelor și raționamentelor matematice din ce în ce mai complexe, asimilarea abilităților matematice și în final, creativitatea matematică care încununează aceste eforturi. Viața unui matematician pare foarte aridă din exterior dar, în realitate, este extrem de bogată, plină atât de entuziasm cât și de disperare. O comparație pentru viața unui matematician ar putea fi aceea de drumeție printr-un masiv cu munți înalți, cu dealuri și cu văi, cu poteci ascunse și cu priveliști minunate pe care le întâlnești în drum, cu efort, cu oboseală, uneori cu rătăciri și cu întoarceri în locuri mai blânde, apoi cu cățărări pe pereți abrupți, uneori cu căderi urmate de reveniri. Această drumeție poate fi făcută pentru anumite perioade de timp împreună cu prieteni, cu ghizi experimentați, cu alți drumeți pe același masiv muntos dar, în cele din urmă, matematicianul rămâne singur, el și muntele pe care îl urcă. Uneori ajunge pe câte o culme de unde are de admirat priveliști accesibile doar pentru foarte puțini dintre semeni, dar după aceea urmează o nouă coborâre și apoi iarăși urcușul istovitor. Alteori alege o potecă pe care o poate parcurge pentru un anumit timp dar la un moment dat constată că nu duce nicăieri și că trebuie să se întoarcă. Dar, și acest eșec conduce la o înțelegere a topografiei locului, a unor tipare pe care le mai poate întâlni și pe alte poteci. Pe parcurs drumețul are emoții, gânduri care îl ajută sau îi limitează acțiunile, are de luat decizii multiple, trebuie să evalueze efortul, pericolele, și resursele, să înțeleagă mediul în care se află și schimbările care se produc în timp real, totul de o complexitate foarte mare. Toate acestea se decantează într-o înțelegere și autoînțelegere a propriilor puncte tari și puncte slabe.

Și tot acest efort pentru ce? Unii spun pur și simplu: pentru că există. Alții oferă răspunsul utilitarist: pentru că este nevoie de aceste cunoștințe pentru înțelegerea lumii în care trăim și pentru difuzarea rezultatelor de matematică în progresul societății umane în care, în mod misterios, matematica este motorul principal. Răspunsul onest este o combinație a celor două.

Gândirea matematică umană

Am vorbit la modul general despre matematică și ce anume o diferențiază în raport cu celelalte activități umane în primul eseu din seria ȘTIM, vezi [AG1], disponibil aici. Să reamintim că matematica este o activitate umană complet abstractă și nelegată în mod direct de realitate. Faptul că este o activitate umană și că mulți dintre noi au nevoie de reprezentări concrete pentru a opera cu conceptele matematice abstracte, este o altă poveste. Modul în care matematica este folosită de către oameni face parte din modelarea matematică, despre care am vorbit în al doilea eseu din seria ȘTIM, vezi [AG2], disponibil aici, și aceasta este iarăși o altă poveste. Dar ansamblul proceselor cognitive implicate în activitatea umană pe care o numim matematică, și care alcătuiesc gândirea matematică, este iarăși altceva.

Subiectul gândirea matematică umană este vast și un domeniu de cercetare foarte activ în științele sociale și cele ale educației. O prezentare foarte pertinentă, alcătuită dintr-o mulțime de capitole și articole pe acest subiect, poate fi găsită pe platforma Science Direct a editurii Elsevier [SD], disponibilă aici. O prezentare succintă a proceselor cognitive implicate în gândirea matematică ar putea fi de felul următor. În primul rând este vorba despre recunoașterea tiparelor care ne servește în individualizarea conceptelor abstracte, a structurilor, și a operațiilor asupra acestora, pe care le asimilăm. Apoi este vorba de abstractizare și generalizare care ne servește în găsirea aspectelor esențiale din exemplele numerice, structurale, sau logice și cu care putem opera în mod independent de realitate. Urmează raționamentele deductive și demonstrațiile, acele procese cognitive în care întrebarea fundamentală este de ce o anumită afirmație este adevărată și găsirea unor lanțuri logice de raționamente și calcule care să valideze sau să invalideze această afirmație. În fine, este vorba despre transformarea diverselor reprezentări în cuvinte, în simboluri, în grafice și în diagrame, care să poarte conceptele și afirmațiile prin diverse perspective și mai ales să asigure comunicarea matematică. Acest ultim aspect este extrem de important: matematica este o activitate umană colectivă, răsfirată în timp și spațiu, iar comunicarea și depozitarea ei în memoria colectivă a societății umane este esențială.

Într-o manieră simplificatoare, activitatea principală a unui matematician activ este rezolvarea de probleme. Pare ușor neserioasă această afirmație așa că trebuie nuanțată. Dintre toate întrebările posibile pe care și le pune o ființă umană, matematicianul este cu precădere interesat de întrebarea de ce? Această întrebare revine obsesiv în aproape tot ceea ce face un matematician: fie că încearcă să înțeleagă matematica produsă și expusă de alți matematicieni, fie că încearcă să găsească drumul logic care duce spre o demonstrație corectă a unei afirmații, la fiecare pas el trebuie să găsească răspuns la întrebări de genul: de ce pot face următoarea operație dintr-un lanț de calcule și de ce pot trage următoarea concluzie din presupunerile cu care lucrez? Fiecare dintre aceste întrebări este o problemă la care trebuie găsite răspunsuri, pentru a merge mai departe.

O anecdotă din folclorul matematic și care aruncă o anumită lumină asupra parcursului problemistic al unui matematician este următoarea. Un tânăr matematician lucra în camera lui, umplând foi de hârtie cu calcule și simboluri ciudate, unele dintre foile de hârtie ajungând la coșul de gunoi iar altele peste teancuri de alte foi de hârtie scrise. Oricum, tânărul matematician era foarte încordat și arăta nu prea fericit. Mama matematicianului, grijulie ca orice mamă cu propriul copil, l-a întrebat ce face, la care acesta a răspuns senin: rezolv probleme, mamă. După puțin timp, mama revine cu o altă întrebare: și problemele astea pe care le rezolvi sunt grele? Da mamă, răspunde tânărul matematician, multe dintre problemele astea sunt foarte grele. Peste încă puțin timp, mama îl întreabă: dar cine îți dă ție problemele astea, fiule? Acesta răspunde: eu îmi dau problemele mamă, eu singur mi le dau. Și atunci mama, cu o față luminată de speranță, îl întreabă: dar de ce nu-ți dai tu probleme mai ușoare, dragul mamei?

Activitatea unui matematician este dificilă și cere timp și efort. Printre oamenii de știință, matematicienii sunt numiți melci întrucât viteza cu care se mișcă pe tărâmul matematicii este uneori exasperant de înceată. O explicație pentru această lentoare este paradigma în care se face matematica, și anume faptul că validarea ultimă și singura acceptată este dată de o demonstrație care trebuie să fie completă, ceea ce implică verificarea și răsverificarea fiecărui pas, analiza multor alternative cu suișuri și coborâșuri, întoarceri, reluări. Metafora cu matematicianul explorând un masiv muntos la picior este instructivă în acest sens: nu explorează muntele cu transportul pe cablu, nu folosește mijloace de transport terestru, nici măcar o bicicletă, darămite una electrică, ci bate potecile cu pasul. Însă tot acest timp și tot acest efort sunt răsplătite. Pe parcursul acestui drum anevoios se construiește înțelegerea profundă, abilități de raționament, formarea unor deprinderi de recunoaștere rapidă a tiparelor, și multe altele. În mintea drumețului se construiește harta masivului muntos, sau a unei părți din acesta, cu detalii și toate precauțiile necesare unei viitoare explorări.

Dar matematicianul uman nu este doar un sistem care produce rezultate matematice. El este un subiect care se transformă pe sine prin activitatea matematică. În timp ce explorează problemele, matematicianul își modifică intuiția, își dezvoltă capacitatea de abstractizare, își reconstruiește reprezentările și dobândește o altă perspectivă asupra lumii matematice. Pentru om, matematica nu este doar un produs al gândirii, ci și un proces prin care gândirea însăși se formează.

Gândirea matematică algoritmică la modele de limbaj mare generativ

În cele ce urmează, reiau foarte scurta prezentare a modului de funcționare a unui model de limbaj mare generativ din eseul asupra cercetării științifice de a doua generație [AG3], disponibil aici, ca un lanț de operații din punct de vedere matematic. Pe scurt și la modul foarte orientativ, arhitectura unui transformator (transformer) constă în:

– fragmentare (tokensation), ceea ce înseamnă spargerea textului în unități de cuvinte (tokens),

– scufundarea acestor unități de cuvinte într-un spațiu Euclidian, unic pentru toate unitățile de cuvinte, și de dimensiuni foarte mari, cu alte cuvinte transformarea acestora în vectori cu foarte multe elemente,

– poziționarea elementelor vectorilor scufundați, adică identificarea unică a acestora ca poziție,

– transformatorul propriu-zis, care este o transformare printr-o rețea neuronală artificială, cu zeci sau cu sute de straturi, a vectorilor poziționați în alți vectori poziționați, și care este motorul algoritmului, constând în compunerea unui lanț de transformări cum ar fi auto-atenția, normalizarea straturilor neuronale, și perceptroni de straturi neuronale multiple orientați înainte,

– capul de predicție, sau un strat neuronal de scufundare, care transformă vectorii poziționați în probabilități discrete,

– strategii de eșantionare care transformă probabilitățile discrete în unitățile de cuvânt care urmează în generarea textului.

Proiectarea unui astfel de model de limbaj mare generativ are ca fundament matematic patru piloni: algebra liniară (sau poate mai corect ar trebui spus, analiza matricială), calculul diferențial și integral, teoria probabilităților și statistica matematică, și optimizarea. Aceste instrumente matematice și rezultatele matematice pe care se bazează alcătuiesc arhitectura internă a unui astfel de model. Urmează apoi o a doua parte, la fel de importantă, a punerii în funcțiune a unui model de limbaj mare generativ, care este antrenarea acestuia și care se face pe baze de date imense și în cursul căreia se obțin succesiunile de unități de cuvinte care urmează în procesul de generare a textelor. Aceasta cuprinde obținerea de probabilități discrete în procesul de ,,ghicire” (predicție) a succesiunilor de unități de cuvinte și minimizarea unei funcții de pierdere prin tehnici de mediere cu ajutorul costului entropiei încrucișate (cross-entropy loss) prin metoda gradientului stocastic. O prezentare formalizată a arhitecturii unui model de limbaj mare generativ este disponibilă, de exemplu, în [FBOL].

Gândirea matematică algoritmică a agenților de inteligență artificială

Dar, pentru rezolvarea problemelor de matematică anunțate pe 6 octombrie, au fost utilizați foarte mulți agenți de inteligență artificială ceea ce ne impune să facem diferența între cele două tipuri de mașini. Un model de limbaj mare generativ este o mașină pasivă de raționamente și generare de text care este activată prin întrebări (prompts) de către un utilizator, pe când un agent de inteligență artificială este o mașină autonomă care apelează unul sau mai multe modele de limbaj mare generativ în secvențe de întrebări, instrumente de activare, memorie, și planificare organizată în pași succesivi, pentru a efectua acțiuni în lumea reală, în cazul nostru generarea unui articol de matematică la nivel de cercetare avansată. Matematica care stă la baza funcționării agenților de inteligență artificială este, prin urmare, cu mult mai mare decât aceea care stă la baza funcționării modelelor de limbaj mare generativ. În cele ce urmează trecem în revistă, pe scurt, această matematică.

Algebra liniară (analiză matricială) este utilizată cu precădere pentru a reprezenta informația în vectori de dimensiuni foarte mari prin fragmentare (tokenisation), această informație este prelucrată prin multiplicări matriciale în straturi multiple ale rețelelor neuronale artificiale, iar informațiile din vectori sunt comparate prin cosinusul similarității care practic măsoară unghiul dintre doi vectori.

Probabilitățile și statistica matematică sunt utilizate prin actualizări Bayesiene prin probabilități condiționate pe care agenții le calculează când primesc informații noi, prin lanțuri de probabilități care evaluează rata de succes pentru a atinge o țintă, prin utilizarea entropiei și a teoriei informației pentru a măsura nivelul de incertitudine în procese de decizie și pentru a modela instrumente de comunicare bidirecțională.

Învățarea prin întărire (reinforcement learning) și teoria controlului sunt utilizate prin procese Markov de decizie, care sunt compuse dintr-o mulțime a stărilor, o mulțime a acțiunilor, un set de tranziții de probabilitate între stări prin acțiuni și o funcție de recompensă, prin ecuația Bellman cu ajutorul căreia se calculează care dintre acțiuni este aleasă pentru a ajunge la o anumită țintă, și prin măsuri de optimizare pentru a găsi strategii prin care să poată fi maximizată recompensa viitoare cumulată.

Calculul diferențial multidimensional este utilizat pentru optimizare prin metoda descreșterii gradientului pentru probleme de optimizare și prin retropropagare prin care se calculează maniera în care schimbarea parametrilor influențează rezultatul final, ceea ce permite ajustarea modelului în timpul antrenării.

Teoria grafurilor este utilizată prin căutări în grafuri în formă de arbore a căii optime pentru maximizarea recompensei și prin teoria jocurilor care se aplică atunci când mai mulți agenți cooperează sau concurează pentru același obiectiv.

Antrenarea gândirii matematice. O scurtă descriere comparativă

Pentru un matematician, ființă umană, antrenarea a însemnat ani de dezvoltare și asimilare a conceptelor, elaborarea demonstrațiilor, descoperirea conexiunilor, și învățarea de a recunoaște când un argument este complet și când nu este complet, printr-o continuă gândire critică. Pentru un model de inteligență artificială, antrenarea este bazată pe optimizare și învățare statistică, în urma utilizării transformatoarelor, descrise mai sus, de fiecare dată. Dar aici este un aspect foarte subtil: răspunsurile pe care le oferă modelul de inteligență artificială nu se obțin prin derularea unui proces de optimizare pentru fiecare întrebare fiindcă această optimizare a avut deja loc pe parcursul antrenării iar răspunsurile sunt formulate utilizând structuri matematice, relații, și tipare de raționament asimilate în timpul antrenării. Această capacitate a modelelor de a utiliza învățarea de pe timpul antrenării le apropie foarte mult de gândirea de tip uman dar maniera în care aceasta se face diferă foarte mult. Trecem în revistă câteva diferențe majore.

Mulțimea de antrenare. Omul poate înțelege dintr-un număr foarte mic de exemple pe când algoritmii au nevoie, în general, de enorm de multe exemple.

Înțelegere și sens. Oamenii posedă intuiție, bunul-simț, și diferențierea cauzalității, pe când algoritmii calculează, prin metodele și matematica prezentate mai sus, structurile de text generate fără a poseda niciuna dintre aceste calități.

Emoție și empatie. În orice acțiune oamenii au emoții și comunicare emoțională, simt oboseală, bucurie, tristețe, și au judecată morală, etică, și apreciere estetică, pe când algoritmii doar simulează toate acestea.

Rezistență, volum, și viteză. Oamenii au capacități de lucru limitate, pot prelucra cantități reduse de informație și cu o viteză mică, iar timpul atribuit acestora este limitat și fragmentat de celelalte nevoi ale omului (somn, mâncare, recreere, etc.) pe când algoritmii pot lucra încontinuu un volum foarte mare de informație și la viteze extrem de mari.

Primirea informației. Oamenii primesc informația printr-un proces dinamic de citire, ascultare, privire, gust, miros, pipăit, în mod gradual și într-un anumit interval de timp, pe când algoritmii pot primi și prelucra cantități foarte mari de informație într-un timp foarte scurt, în limitele arhitecturii și resurselor de calcul disponibile.

Creativitate. Oamenii folosesc, în afară de cunoașterea acumulată de omenire de-a lungul timpului și experiența personală, emoțiile, informația acumulată și schimbările de stare pentru a crea noutate pe când algoritmii folosesc doar cunoștințele obținute de oameni în mod sintetic și recombinând tiparele învățate.

De ce matematica?

Una dintre întrebările care se impun este: de ce compania OpenAI a luat în colimator matematica și nu altă zonă de cunoaștere, mult mai importantă pentru societatea umană contemporană? Sunt atât de multe probleme vitale care trebuie rezolvate: energia, poluarea, stabilitatea climei planetei, boli care distrug populații întregi, sărăcia, și câte și mai câte? Și o întrebare retorică: inteligența artificială este una dintre marile consumatoare de resurse, de exemplu electricitatea și apa necesară pentru răcire. De ce inteligența artificială nu se concentrează pentru a găsi soluții eficiente de reducere a consumului de energie și de răcire?

Matematica este într-o situație specială. Din cele prezentate până acum am văzut că inteligența artificială este o creație inginerească fundamentată pe matematică foarte avansată, disponibilă în urma progresului din ultima sută de ani printr-un efort colectiv uriaș dar tăcut. De cele mai multe ori evenimentele din lumea matematică nu fac știri de primă pagină și trec neobservate. Pe de o parte, inteligența artificială este o reprezentare a matematicii și funcționează prin modele matematice. În plus, matematica posedă un limbaj formal riguros și, prin urmare, se pretează mai bine decât multe alte domenii ale cunoașterii la formalizare și la verificarea algoritmică a rezultatelor. Pe de altă parte, celelalte domenii de cunoaștere funcționează încă în paradigme diferite iar modelele matematice, deși există, sunt departe de a furniza cunoaștere la un nivel suficient de mare pentru a fi cercetate numai prin aceste modele. Astfel, problemele matematice sunt ideale pentru un câmp de testare pentru inteligența artificială iar cununa de lauri pentru tranșarea acestor probleme este la îndemână.

Colaborare sau competiție?

Spuneam mai sus că automatizarea cercetării matematice cu rezultate care întrec cu mult posibilitățile oamenilor pune serioase probleme comunității matematicii. Mai este nevoie de matematicieni atunci când mașina poate tranșa probleme matematice extrem de grele într-un timp foarte scurt? Răspunsul la această întrebare nu este simplu și nici nu poate fi tranșat în mod decisiv. Este clar că dacă intrăm în această competiție în acest fel, noi oamenii pierdem din start. O soluție pe care mulți matematicieni o văd, printre aceștia mă număr și eu, este că oamenii au acum la dispoziție niște instrumente de cunoaștere foarte puternice și singura modalitate de supraviețuire este utilizarea acestora în mod pragmatic și inteligent. O analiză foarte pertinentă a acestor provocări poate fi găsită într-un articol recent, dar scris cu câteva luni mai înainte ca aceste evenimente să aibă loc, de către Tanya Klowden și Terence Tao [KT], disponibil aici. La puțin timp după evenimentele anunțate pe 6 octombrie, Terence Tao [TT] a susținut o conferință la Caltech (California Institute of Technology) în care a vorbit despre Mathematica 2.0, a se vedea și articolul [TT1]. În ambele documente, Tao propune abordări și soluții la aceste provocări. Pe scurt, paradigma matematicii 2.0 este profund diferită de cea a matematicii 1.0, de dinaintea automatizării demonstrațiilor matematice. Tao folosește o metaforă interesantă: marile probleme deschise din matematică sunt faruri maritime pentru cei care navighează pe oceanul matematicii și tranșarea brutală a acestora a lăsat comunitatea matematică în întuneric. Aceste probleme deschise sunt importante nu numai pentru importanța lor cât mai ales pentru ecosistemul de rezultate și teorii pe care le generează în căutările demonstrației care să le tranșeze și, prin urmare, prin pulverizarea lor, bucăți enorme din matematică rămân neexplorate.

Ce se poate face în acest caz? Paradigma trebuie schimbată, dar cum? Cuvântul magic este armonizarea (the alignment) celor două tipuri de gândire matematică. Puterea gândirii matematice umane este înțelegerea. Puterea gândirii matematice algoritmice este capacitatea imensă de cuprindere și rapiditatea. Dacă comunitatea matematicienilor găsește drumul pentru armonizarea celor două tipuri de gândire matematică, omenirea va profita enorm evitând distrugerea motorului progresului care este matematica. Este o ironie a sorții că matematica a creat instrumentele de inteligență artificială care amenință întreg eșafodajul matematicii. Dar odată ce toate acestea s-au întâmplat și tăvălugul tehnologic se rostogolește incontrolabil, trebuie să găsim soluții de armonizare până nu este prea târziu.

Dar ce înseamnă această armonizare, care sunt dimensiunile ei? Prima este epistemologică. Cum transformăm o demonstrație produsă de inteligența artificială într-o cunoaștere matematică inteligibilă pentru oameni? A doua este metodologică. Cum organizăm cercetarea astfel încât sistemele de inteligență artificială să preia o parte din explorarea tehnică, fără ca matematicienii să piardă capacitatea de a formula probleme și de a construi teorii? A treia este educațională. Cum pregătim viitorii matematicieni într-o lume în care demonstrațiile dificile pot fi generate automat?

Eu nu văd o altă soluție decât aceea de a răspunde pragmatic și inteligent acestei provocări și de a ne adapta în așa fel încât cercetarea matematică să fie continuată și nu abandonată.

N.B. Mulțumesc lui Victor Nistor (Université de Lorraine), lui Camil Muscalu (Cornell University) și lui Victor Lie (Purdue University) pentru schimbul de informații și conversațiile pe această temă, și lui Sorin Costiner pentru discuțiile provocatoare, mai mult sau mai puțin recente, asupra inteligenței artificiale.

Referințe

[DC] Davide Castelvecchi, OpenAI posts 700 maths preprints online: mathematicians are up in arms. The firm used an unreleased model to tackle hundreds of high-profile problems. Nature, 7 October 2026.

[FBOL] S. Frieder, J. Berner, Ph. Petersen, T. Lukasiewicz, Large Language Models for mathematicians: arXiv: 2312.04556 [cs.CL] disponibil aici.

[AG1] A. Gheondea: ȘTIM 1. Considerații despre matematică în educația universitară și în societate, Contributors, 03.10.2023.

[AG2] A. Gheondea: ȘTIM 2. Diferența dintre matematică și modelare matematică pe înțelesul tuturor, Contributors 01.07.2025

[AG3] A. Gheondea, Nouă ce ne mai rămâne de făcut? Cercetarea științifică de a doua generație ca o măsură de compensare a degradării cercetării prin utilizarea inteligenței artificiale generative, Contributors, 7.08.2026.

[SK] Sergiu Klainerman, Will AI kill us all – or just make mathematicians obsolete? ArXiv:2610.29713v1 [math:HO]

[KT] T. Klowden, T. Tao, Mathematical methods and human thought in the age of AI, arXiv:2603.26524v1 [math.HO]

[SD] Science Direct, Mathematical Thinking, disponibil aici.

[OA] OpenAI, „Sharing AI progress in mathematics”, 6 octombrie 2026.

[OA1] OpenAI, Mathematical manuscripts and supporting proof artifacts, GitHub Repository, October 2026.

[OA2] OpenAI, On the Navier–Stokes Millennium Prize Problem, September 2026.

[TT] Terence Tao, Math 2.0, American Institute of Mathematics, Caltech, 8 October 2026.

[TT1] Terence Tao, Can maths survive AI? Nature, 22 October 2026.