Preambul
În primul eseu din această serie [AG1], disponibil aici, am încercat să explic de ce matematica joacă un rol esențial în societatea modernă. În al doilea eseu [AG2], disponibil aici, am încercat să explic o distincție, pe care o consider esențială, între matematică și modelarea matematică. Lumea în care trăim și lumea matematicii sunt foarte diferite iar singura interfață între aceste două lumi este, până la proba contrarie, mintea umană. Atunci când folosim matematica pentru a descrie un fenomen fizic, biologic, economic sau social, construim un model, iar concluziile obținute riguros în interiorul acelui model matematic prin demonstrații nu trebuie confundate cu afirmații la fel de certe despre fenomenul din lumea reală. Cele două au niveluri de certitudine diferite: pe când nivelul de certitudine din modelul matematic este maxim, interpretările acestuia în fenomenul din lumea reală pe care îl modelează au nivele de certitudine variabile, în funcție de acuratețea modelării și de alți parametri. Am lăsat însă neatinsă o întrebare care vine aproape inevitabil după această explicație: dacă ne retragem din lumea reală în lumea matematicii, cât de solid este terenul pe care am ajuns? Altfel spus, cât de solide sunt fundamentele pe care se sprijină matematica însăși?
Întrebarea poate părea aproape absurdă. Imaginea cea mai răspândită despre matematică este aceea de „știință exactă”, cea mai sigură formă de cunoaștere de care dispunem. Teoriile din științele naturii se modifică, măsurătorile au erori mai mari sau mai mici, predicțiile economice sunt mai bune sau mai proaste, iar interpretările fenomenelor sociale sunt permanent disputate. Tocmai aceste caracteristici i-au permis lui Karl Popper (1902-1994) să diferențieze științele în cadrul teoriei cunoașterii prin celebrul criteriu al falsificabilității. În matematică situația este radical diferită și aici este potrivit să accentuăm, încă o dată, distincția între matematică și modelele matematice utilizate pentru lumea reală. Ceea ce face diferența este în mod esențial conceptul de ,,demonstrație matematică”. O teoremă corect demonstrată rămâne demonstrată: pe când cunoștințele din științele naturii se primenesc și chiar se schimbă continuu, cunoștințele din matematică sunt eterne. Teorema lui Pitagora nu devine mai puțin adevărată dacă o nouă observație astronomică ne schimbă imaginea asupra Universului. Tocmai această exigență extraordinară de rigoare datorată demonstrației matematice conduce însă către o întrebare incomodă: dacă fiecare afirmație matematică trebuie justificată, cum justificăm punctele de plecare ale matematicii?
Fundamentele matematicii constituie un domeniu vast și este lipsit de speranță să fie acoperit într-un eseu de această factură. În acest eseu doresc să discut o întrebare mai restrânsă, care a devenit centrală la sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea: putem așeza matematica pe un sistem de concepte primitive, axiome și reguli de inferență, suficient de precis încât să fim siguri de întreaga construcție? Simplificarea unor asemenea probleme pentru un public larg presupune inevitabil pierderea unor detalii tehnice; voi încerca să le semnalez numai acolo unde devin importante.
Sunt perfect conștient că demersul meu este riscant din mai multe puncte de vedere. Dar, îmi asum aceste riscuri din mai multe motive. Primul motiv este că, în această încercare a mea de a explica matematica și relația acesteia cu societatea contemporană unei audiențe foarte largi, mi s-ar părea lipsit de onestitate să evit subiecte sensibile, așa cum este acesta, al solidității fundamentelor matematicii. Al doilea motiv este legat de faptul că am observat că există o mare neînțelegere asupra interpretărilor fenomenelor legate de soliditatea fundamentelor matematicii și sper ca modesta mea contribuție să clarifice măcar parțial aceste neînțelegeri, pentru o bună parte dintre cititorii de pe această platformă. Ultimul motiv, dar foarte important, este legat de hotărârea mea, cu mult timp în urmă, de a-mi dedica viața profesională matematicii. În educația mea matematică timpurie, am ajuns inevitabil și la întrebarea asupra solidității fundamentelor matematicii și am încercat să înțeleg ,,în ce m-am băgat”: răspunsul pe care l-am aflat, și pe care doresc să-l împărtășesc cu cititorii de pe această platformă, nu m-a făcut să-mi schimb hotărârea.
De unde pornește o demonstrație?
O demonstrație matematică pornește de la concepte cunoscute, afirmații care au fost demonstrate și sunt acceptate și, prin pași logic acceptați, ajunge la o afirmație nouă. Dar afirmațiile de la care demonstrația pornește au fost, la rândul lor, demonstrate folosind alte afirmații. Dacă urmăm acest lanț înapoi, vrem să ajungem undeva, pe un tărâm solid. Nu putem cere ca fiecare afirmație să fie demonstrată dintr-o afirmație anterioară, într-un regres fără sfârșit. O teorie matematică axiomatică pornește, de aceea, de la câteva concepte primitive, pe care nu le definim, ci le acceptăm ca atare, și de la axiome, adică afirmații pe care nu le demonstrăm în interiorul teoriei, ci le acceptăm ca puncte de plecare. La acestea se adaugă reguli generale de inferență care stabilesc ce pași de raționament sunt permiși și care, în principiu, sunt conforme cu logica bivalentă, adică logica în care există doar două valori de adevăr, adevărat sau fals. Din astfel de ingrediente aparent modeste se poate construi un edificiu matematic enorm.
Modelul istoric pentru o teorie axiomatică este geometria euclidiană. În Elementele, scrise în jurul anului 300 î.Hr., Euclid din Alexandria organizează o parte importantă a geometriei pornind de la definiții și câteva postulate, sau axiome. Pentru mine, ca și pentru mulți dintre cei care au avut șansa unei întâlniri fericite cu geometria sintetică în copilărie, experiența este extraordinară și greu de uitat: din câteva presupuneri simple, prin raționamente în care toate obiectele sunt pe masă, apar rezultate din ce în ce mai complexe și adesea surprinzătoare.
Dar istoria axiomatizării geometriei a adus și o lecție mai subtilă. Timp de secole, matematicienii au încercat să demonstreze celebrul postulat al paralelelor pornind de la celelalte postulate. Nu au reușit. Mai mult, în secolul al XIX-lea au fost construite geometrii neeuclidiene, bazate pe alte presupuneri privind paralelele, care s-au dovedit a fi la fel de coerente din punct de vedere matematic. S-a schimbat astfel și felul în care privim axiomele. O axiomă nu trebuie să fie un „adevăr evident” despre lumea în care trăim. Suntem acum în lumea matematicii, care este separată de lumea reală. O axiomă poate fi privită ca o presupunere precisă de la care pornim și ale cărei consecințe le cercetăm ,,numai” în cadrul sistemului formal al matematicii, fără să ne preocupe consistența acesteia cu lumea reală în care trăim.
Dacă vrem să înțelegem cât de cât un exemplu de sistem axiomatic, nu este nevoie să începem cu concepte matematice exotice. Putem porni de la ceva familiar tuturor: numerele naturale, 1, 2, 3, 4 și așa mai departe. Ce poate fi mai sigur decât număratul? Foarte mulți oameni chiar consideră că matematica se reduce la numere, deși această afirmație este la ani lumină de adevăr. Și totuși, numerele naturale ne sunt atât de familiare încât oricine are cât de cât o educație matematică elementară le consideră ,,înțelese”. Nu intrăm acum în detalii asupra ,,înțelegerii” numerelor naturale, poate în alt eseu din această serie. În 1889, în Arithmetices principia, nova methodo exposita, Giuseppe Peano (1858-1923) a formulat un sistem de cinci axiome pentru numerele naturale, o simplificare a sistemului de axiome propus de Richard Dedekind (1831-1916) cu un an mai înainte. Într-o prezentare simplificată, avem numărul 1 și operația de „succesor”, adică trecerea la numărul următor. Presupunem că: (p1) 1 este număr natural; (p2) succesorul oricărui număr natural este tot număr natural; (p3) 1 nu este succesorul niciunui număr natural; (p4) nu există două numere naturale diferite care să aibă același succesor. La acestea se adaugă principiul inducției matematice: (p5) dacă o proprietate este adevărată pentru numărul 1 și putem demonstra că, fiind adevărată pentru un număr natural oarecare, este adevărată și pentru succesorul lui, atunci proprietatea este adevărată pentru toate numerele naturale. Alegerea lui 1 drept punct de plecare este doar o convenție; există formulări care pornesc de la 0.
M-aș opri puțin asupra axiomei (p5). Această axiomă, pe care o numim principiul inducției matematice, este uneori greșit înțeleasă ca fiind o simplă consecință a metodei inductive, obținerea unor afirmații generale dintr-o mulțime de afirmații particulare, utilizată în științe și în educație. Inducția matematică este o afirmație din acest sistem formal pe care îl numim matematică și, într-adevăr, putem să găsim analogii cu metoda inductivă. Numai că, cele două principii, sau metode, au presupuneri diferite și concluzii diferite. Uneori, principiul inducției matematice mai este numit și principiul inducției complete, pentru a-l deosebi, a nu știu câta oară, de metoda inductivă.
Dintr-un asemenea sistem foarte restrâns putem construi aritmetica: putem să definim adunarea, înmulțirea și ordonarea numerelor naturale și putem să demonstrăm proprietățile lor, iar motorul acestor construcții și demonstrații este exact axioma (p5), principiul inducției matematice. Acesta este visul axiomatic în forma sa cea mai seducătoare: la temelie avem câteva concepte primitive, câteva axiome și reguli logice precise de inferență, iar deasupra lor se ridică un edificiu potențial nelimitat de teoreme. Dar tocmai aici apare întrebarea care ne interesează: ce proprietăți ar trebui să aibă fundația pentru ca edificiul să fie într-adevăr sigur?
Visul unei fundații perfecte
În primul rând, am dori ca sistemul axiomatic să nu se contrazică. Nu vrem să putem demonstra, în cadrul aceluiași sistem, atât o afirmație cât și negația ei. Această proprietate se numește consistență. În al doilea rând, am putea dori ca sistemul să poată da, măcar în principiu, un răspuns la fiecare întrebare matematică pe care o putem formula în interiorul lui: să putem demonstra fie afirmația, fie negația ei. Această proprietate se numește completitudine. Și, dacă idealul ar fi dus până la capăt, am putea visa la o procedură care, după un număr finit de pași, să ne spună dacă o afirmație este sau nu o teoremă, adică o afirmație demonstrată și a cărei demonstrație poate fi verificată. Aceasta este ideea de decidabilitate. Consistență, completitudine, decidabilitate: un sistem care le-ar avea pe toate ar părea foarte aproape de fundația ideală pe care o căutăm.
La sfârșitul secolului al XIX-lea și începutul secolului al XX-lea, asemenea întrebări au devenit urgente. Dezvoltarea teoriei mulțimilor, datorată în primul rând lui Georg Cantor (1845-1918), dar la care au contribuit substanțial și alți matematicieni, printre care Richard Dedekind, a scos la iveală dificultăți neașteptate. Nu intrăm în amănunte despre teoria mulțimilor, aceasta va fi discutată într-un episod ulterior. Au apărut paradoxuri care arătau că folosirea prea liberă a noțiunii de mulțime poate conduce la contradicții. Cel mai cunoscut este paradoxul (o afirmație care se contrazice pe sine printr-un raționament corect) lui Bertrand Russell (1872-1970). Nu voi intra aici în detalii fiindcă acest paradox se leagă de tranziția de la logică la teoria mulțimilor, despre care intenționez să vorbesc într-un episod ulterior. Important pentru moment este semnalul de alarmă: matematica trebuie să-și examineze mai atent propriile temelii.
David Hilbert (1862-1943) a fost una dintre figurile centrale ale marelui proiect de fundamentare care a urmat. Într-o formulare simplificată, speranța era că matematica în întregime poate fi formalizată, adică să poată fi transpusă într-un sistem de semne și reguli precise, cu sisteme axiomatice, și că putem demonstra, prin metode sigure, că asemenea sisteme nu conduc la contradicții. Miza este enormă: matematica trebuie nu doar să demonstreze teoreme, ci să cerceteze matematic dacă însuși mecanismul prin care produce teoreme este sigur. Simplific mult aici un program istoric și tehnic considerabil mai complex: o prezentare prietenoasă pentru cititorul nespecialist a Programului lui Hilbert este disponibilă pe platforma Stanford Encyclopedia of Philosophy [SEP2].
Când matematica începe să se studieze pe ea însăși
Pentru aceasta trebuia făcut un pas intelectual remarcabil. Demonstrațiile trebuiau transformate în obiecte care să poată fi studiate matematic. Dacă regulile sunt suficient de precise, o demonstrație poate fi privită ca o succesiune finită de simboluri, în care fiecare pas este fie un punct de plecare acceptat, fie rezultatul aplicării corecte a unei reguli. Putem atunci pune întrebări matematice despre demonstrațiile matematice. Matematica începe, într-un anumit sens, să se studieze pe ea însăși.
În 1931, Kurt Gödel (1906-1978) [G1], [G2], a arătat că acest proiect întâlnește o limitare fundamentală. Într-o formulare adaptată scopului acestui eseu, prima teoremă de incompletitudine a lui Gödel spune că un sistem formal care nu se contrazice, ale cărui axiome și reguli pot fi procesate prin proceduri precise, în sensul că este efectiv axiomatizabil, și care este suficient de puternic pentru a cuprinde aritmetica numerelor naturale, nu poate ,,decide” toate afirmațiile care pot fi formulate în interiorul său. Vor exista afirmații ,,indecidabile”, adică pentru care, în cadrul sistemului, nu se poate demonstra nici afirmația, nici negația ei. Cu alte cuvinte, dacă vrem un asemenea sistem suficient de bogat și fără contradicții, trebuie să acceptăm că el este incomplet. Acest rezultat este cu atât mai surprinzător cu cât nu apare într-un domeniu exotic al matematicii. Apare în lumea atât de familiară a numerelor naturale, de unde am pornit, tocmai pentru că numerele naturale 1, 2, 3, 4, … păreau obiectele cele mai sigure cu putință. Dar cum poate matematica să demonstreze o asemenea limitare a demonstrației?
Ideea lui Gödel este extraordinară. Utilizând descompunerea (unică a) numerelor naturale ca produse de numere prime, el a arătat că formulele și chiar demonstrațiile pot fi codificate prin numere naturale. Dacă putem face aceasta, atunci afirmațiile despre formule și demonstrații pot fi transformate în afirmații despre numere. Într-un mod riguros, dar pe care nu-l putem reproduce aici fără un aparat matematic considerabil, Gödel construiește o afirmație care ajunge să vorbească indirect despre propria sa demonstrabilitate. În esență, ea spune: „această afirmație nu poate fi demonstrată în acest sistem”. Nu avem de-a face cu un joc de cuvinte sau cu paradoxul mincinosului, ci cu o construcție matematică precisă. În condițiile teoremei, dacă sistemul este consistent, el nu poate demonstra această afirmație; iar rezultatul poate fi întărit astfel încât nici negația ei să nu poată fi demonstrată. Gödel a găsit, așadar, o afirmație pe care sistemul nu o poate decide.
Pentru a înțelege mai ușor această teoremă, o analogie datorată lui Alfred Korzybski (1879–1950) ne poate ajuta [K]. Să ne gândim la raportul dintre un teritoriu și o hartă a lui. Teritoriul are proprietăți care nu depind de ceea ce este desenat pe hartă: două localități sunt sau nu despărțite de un râu, indiferent dacă râul apare pe harta pe care o avem în față. Harta, în schimb, ne permite să stabilim numai ceea ce poate fi citit sau dedus din informația pe care o conține. În această analogie, adevărul unei afirmații matematice seamănă cu ceea ce este cazul în „teritoriul” matematic considerat, iar demonstrabilitatea cu ceea ce poate fi obținut pornind de la axiomele și regulile sistemului nostru formal. Teorema lui Gödel ne spune că, pentru anumite sisteme suficient de bogate, harta nu poate fi făcută astfel încât să decidă prin propriile sale mijloace fiecare afirmație care poate fi formulată în limbajul ei. O dezvoltare mai profundă a acestei analogii poate fi găsită în celebra carte a lui Douglas Hofstadter [H].
Analogia aceasta are însă o limitare importantă. În geografie, știm ce înseamnă teritoriul independent de hartă. În matematică, întrebarea dacă există un asemenea „teritoriu” independent de limbajul și construcțiile noastre este ea însăși o problemă filosofică profundă. Pentru discuția de față este suficientă distincția mai modestă dintre ceea ce este adevărat în modelul standard al numerelor naturale și ceea ce poate fi demonstrat pornind de la axiomele și regulile unui anumit sistem formal. O explicație a acestui deziderat este necesară. Să presupunem că un matematician dorește să investigheze dacă o anumită afirmație din teoria numerelor este adevărată sau falsă. Matematicianul nu știe dacă această afirmație este adevărată sau falsă așa că merge simultan pe două căi complet diferite: încearcă să găsească un lanț de afirmații corecte care să alcătuiască o demonstrație și în același timp încearcă să găsească exemple care să infirme afirmația. Dar el nu știe care va fi sfârșitul decât dacă reușește sau să demonstreze afirmația sau să găsească un contraexemplu. Și dacă afirmația pe care matematicianul dorește să o demonstreze este indecidabilă? Pentru un matematician activ, această întrebare este tulburătoare: este oare posibil ca, independent de abilitatea lui, să nu poată ,,decide” această afirmație, să-și irosească viața căutând ceva care nu există? Cititorul trebuie să privească această întrebare cu prudență întrucât indecidabilitatea relativă la un sistem formal este diferită de imposibilitatea absolută de a rezolva o problemă matematică.
Devine acum mai ușor de înțeles de ce este tentant să rezumăm rezultatul lui Gödel spunând că „există adevăruri matematice care nu pot fi demonstrate”. Formula este spectaculoasă, dar trebuie folosită cu grijă. „A fi adevărat” și „a putea fi demonstrat într-un anumit sistem de axiome” nu sunt același lucru. O afirmație poate să nu fie demonstrabilă într-un anumit sistem fără ca prin aceasta să fi demonstrat că ea este falsă. Tocmai separarea dintre adevăr și demonstrabilitate este una dintre problemele profunde pe care rezultatul lui Gödel le scoate la lumină. Întorcându-ne la exemplul matematicianului care lucrează pe o problemă despre care nu știe dacă nu cumva este indecidabilă într-un anumit sistem axiomatic, de multe ori acesta poate demonstra că, dacă o anumită afirmație este luată drept adevărată, adică adaugă o nouă ipoteză și o tratează ca și cum ar fi o axiomă, atunci poate găsi o demonstrație a afirmației inițiale, ceea ce este un rezultat mai slab decât cel pe care l-a dorit. Mai târziu, un alt matematician, folosind rezultate obținute de alți matematicieni, este posibil să demonstreze că ipoteza suplimentară nu era de fapt necesară. Pe de o parte, imprevizibilul și suspansul fac parte din viața cotidiană a fiecărui matematician și trebuie să învețe să trăiască cu asta. Pe de altă parte, matematica este o activitate colectivă, în care comunitatea este cea care produce matematică prin membrii ei, conectați prin fire invizibile în timp și spațiu și alcătuind o structură complexă care, dincolo de toate dificultățile și limitările, este funcțională și ,,cât se poate de sigură”.
A doua teoremă de incompletitudine a lui Gödel se apropie și mai mult de întrebarea de la care am pornit. În condițiile în care se aplică teorema, un sistem formal consistent și suficient de puternic pentru a cuprinde aritmetica nu își poate demonstra, prin propriile sale mijloace, propria consistență. Putem demonstra consistența unui sistem folosind un sistem mai puternic, iar asemenea rezultate sunt importante. Dar dacă întrebarea noastră este „de unde vine garanția ultimă?”, atunci problema nu dispare: ea se mută asupra sistemului mai puternic. O prezentare prietenoasă a teoremelor lui Gödel pentru cititorul nespecialist este disponibilă pe platforma Stanford Encyclopedia of Philosophy [SEP1], iar o altă prezentare ,,prietenoasă”, dar care se adresează cititorului cu o solidă pregătire matematică, este disponibilă în monografia lui C.C. Leary și L. Kristiannsen [LK].
Am pornit întrebând de ce putem avea încredere în demonstrațiile matematice. Pentru a elimina ambiguitățile, matematicienii au construit sisteme axiomatice, în care punctele de plecare și regulile demonstrației sunt precizate cu cea mai mare strictețe. Dar atunci când cerem unui asemenea sistem suficient de puternic să ne ofere, prin propriile sale mijloace, garanția propriei consistențe, întâlnim o limitare pe care matematica însăși o poate demonstra. Visul unei fundații formale care să ne ofere simultan toate proprietățile pe care le-am putea dori de la ea se dovedește imposibil în această formă.
Cât de solide sunt, de fapt, fundamentele matematicii?
Înseamnă oare, din cele explicate mai înainte, că matematica se află pe nisipuri mișcătoare? Și da și nu, dar maniera în care formulăm cele două răspunsuri este esențială. Teoremele lui Gödel nu ne spun că 2+2 ar putea înceta mâine să fie 4, că teorema lui Pitagora este nesigură sau că rezultatele matematicii care sunt confirmate trebuie privite cu suspiciune din cauza unei crize ascunse în fundamente. Activitatea matematică obișnuită nu este paralizată de incompletitudine, după cum construcția unui pod nu este oprită de faptul că inginerul nu are răspunsurile la toate problemele de rezistența materialelor. Ceea ce pierdem este o speranță mult mai ambițioasă: posibilitatea de a închide o parte suficient de bogată a matematicii într-un sistem formal care să fie complet și consistent și care, în același timp, să ne ofere din interior garanția propriei consistențe.
Poate că tocmai aici trebuie nuanțată imaginea matematicii ca „știință exactă”. Exactitatea matematicii nu constă în existența unui teren ultim, absolut și evident, aflat dincolo de orice întrebare. Ea constă mai degrabă în precizia extraordinară cu care matematica stabilește ipotezele de la care pornește, regulile pe care le folosește și limitările concluziilor pe care le poate obține. Din acest punct de vedere, rezultatele lui Gödel nu reprezintă o slăbiciune a matematicii, ci una dintre cele mai impresionante manifestări ale rigorii sale. Matematica și-a supus propriile metode de demonstrație examinării matematice și a descoperit că există limitări ale demonstrabilității.
Am ajuns astfel într-o situație aparent paradoxală. Am început prin a întreba cât de solide sunt fundamentele matematicii și am descoperit că răspunsul nu poate fi simplul „perfect de solide” pe care imaginea școlărească a matematicii pare să-l sugereze. Dar nici concluzia opusă, aceea că matematica ar fi o construcție nesigură, nu este justificată. Lecția este mai subtilă și, cred, mai interesantă: rigoarea matematică nu elimină toate întrebările despre propriile fundamente. Ea ne permite să formulăm aceste întrebări cu precizie și, uneori, să demonstrăm că anumite răspunsuri pe care ni le-am dori nu pot exista în forma în care le-am căutat.
Există puține situații în istoria ideilor mai spectaculoase decât aceasta. Omenirea a construit matematica pentru că a simțit nevoia de certitudine într-o lume plină de incertitudini: să demonstrăm afirmații cu o certitudine greu de obținut în oricare alt domeniu al cunoașterii. Apoi a folosit aceeași matematică pentru a cerceta ce poate însemna „a demonstra”. Iar pe parcursul acestui drum a înțeles că certitudinea matematică vine cu un preț: a reușit să demonstreze că demonstrația însăși are limitări.
Limitele fundamentării matematicii nu au fost descoperite în afara matematicii, ele au fost demonstrate matematic, de către matematicieni, în interiorul matematicii. Dar pe tărâmul matematicii regulile sunt cu totul altele decât în lumea reală. Fragilitatea și limitele solidității matematicii nu ne oferă argumente pentru a extrapola în mod mecanic aceste afirmații în teoria generală a cunoașterii, în științe și, în general, în lumea reală: conceptul de demonstrație este specific matematicii și nu poate fi transferat în mod automat afirmațiilor empirice despre lumea reală.
N.B. Întrebările despre fundamentele matematicii transcend matematica și sunt de interes în filosofie, mai precis, în filosofia științelor și, în special, în filosofia matematicii. Am rugat-o pe Adriana Monica Solomon să citească în mod critic o versiune aproape finală a acestui eseu și am primit comentarii și sugestii foarte utile, pentru care îi mulțumesc.
Referințe
[AG1] A. Gheondea: ȘTIM 1. Considerații despre matematică în educația universitară și în societate, Contributors, 03/10/2023.
[AG2] A. Gheondea: ȘTIM 2. Diferența între matematică și modele matematice pe înțelesul tuturor, Contributors, 01/07/2025.
[G1] K. Gödel: „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 38, 1931, pp. 173–198.
[G2] K. Gödel: Collected Works, Volume I: Publications 1929–1936, Solomon Feferman et al. (eds.), Oxford University Press, 1986.
[H] D. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid, Basic Books 1979.
[K] A. Korzybski: Science and Sanity: An Introduction to Non-Aristotelian Systems and General Semantics (6th ed., originally published în 1933), Institute of General Semantics, 2023.
[LK]C.C. Leary, L. Kristiannsen, A Friendly Introduction to Mathematical Logic, Springer Verlag, Berlin 2015.
[NN] E. Nagel, J.R. Newman: Gödel’s Proof, New York University Press, 1958; ediții ulterioare revizuite.
[SEP1] Stanford Encyclopedia of Philosophy: Kurt Gödel, Gödel’s Incompleteness Theorems, 13/02/2025, rev 10/09/2025, disponibilă aici.
[SEP2] Stanford Encyclopedia of Philosophy: Hilbert’s Program, 31/07/2003; rev. 29/09/2023, disponibilă aici.
Chestionând consistența, completitudinea și decidabilitatea ipotezelor matematice, așa cum bine s-a arătat în text, chestionăm, de fapt, rigoarea și coerența raționalității, evidențiind, indirect, diferențele dintre demonstrația matematică și argumentarea științifică, alta decât cea strict matematică, spre a nu mai aminti de argumentarea logico-filosofică. Caracterul înalt formalizat și formalizabil al enunțurilor matematice este cel care conduce la diferența, bine subliniată în text, între adevăr și demonstrație, între precizia matematică și aceea a științelor naturii. Mintea omenească este cea care funcționează în toate zonele cunoașterii, iar formalizarea matematică evidențiază în moduri distincte limitele minții, în fapt ale raționalizării, limite diferite de posibilitatea reprezentării conceptual-verbale a lumii fizice.
…Suntem acum în lumea matematicii, care este separată de lumea reală…
ac (axiom of choice) conduce la paradoxul banach. poate ca n scoli ar trebui sa se nceapa nu cu memorare de formule ci cu istoria stiintelor (chiar sumara). un inginer actual construieste o particica mica dintr o aplicatie digitala, dar nu intelege miscarea electronilor intr un semiconductor (n are nevoie), croseteaza cu andrele la o tesatura deja inceputa (pinza de paianjen pe care ne miscam). universul inglobeaza forme, miscari, transformari, fenomene etc. le numim sfere, elipse, rotatii, atractii etc. matematice, fizice, chimice, biologice, un limbaj uman ce stocheaza si transmite mai departe lucruri observabile, masurabile, intuibile. ceea ce depaseste intuitia umana nu nseamna ca nu exista, exista deasupra noastra. ps: foarte frumos articolul si efortul de sinteza.
Aveți perfectă dreptate: studiul istoriei științelor mi se pare cel puțin la fel de important ca cel al istoriei. Poate că în felul acesta oamenii care pun botul la tot felul de năzdrăvănii promovate de tot felul de șarlatani s-ar trezi din vrajă.
E chestie de putirinta, dle profesor.
Majoritatea lor ar miji un oki… dupa care s-ar culca anapoi.
intr-un registru amuzant am putea spune, ce ne facem daca nici macar matematica nu se sprijina pe baze solide, atunci ce pretentii sa mai avem de la altele?
Si ce ar fi sa se creeze o alta matematica, asa cum se spune, stiu, ma repet, creeata de un copil genial care inca nu a apucat sa invete nimic din actuala matematica? Pt ca atunci cand stii ceva, acest ceva poate fi si o piedica in a invata altceva, e ca atunci cand ti-ai pierdut fecioria!
Și eu care credeam că am făcut lucrurile destul de clare! Eu nu cred în minuni și mai rău, toate așa zisele minuni sunt doar moduri metaforice de interpretare a realității, care este doar una dintre multele reprezentări posibile ale matematicii.
O altă întrebare mi se pare cu mult mai interesantă: dacă omenirea va reuși să intre în contact cu o civilizație extraterestră superioară, presupunând că aceasta există, nu cumva matematica va fi singura modalitate de comunicare?
Mie mi s-a parut expunerea f clara, multumesc, dar asta nu ma impiedica sa divaghez un pic.
Îmi place uneori să discut cu boții, LLM-urile, sau AI-urile actuale. Sunt avertizată că uneori pot avea „halucinații” și da răspunsuri total aberante. Sau că uneori boții pot deveni „sicofanți” și să-ți dea numai răspunsuri ce îți sunt pe plac. De asta sunt cu ochii în patru tot timpul.
Totuși ce am observat în discuțiile cu AI-uri e că nu sunt de rea-credință, așa cum pot fi oamenii de multe ori. Sau să te acuze de diverse fapte fără dovezi și argumente solide. Sau dacă totuși „halucinează” și o fac, au capacitatea să revină și să corecteze. Nu ȘTIM încă dacă vor evolua în bine sau în rău în viitor și vor prelua exemple urâte de la oameni, asta vom vedea.
Ca să argumentez vă dau mai jos un mic exemplu de o astfel de discuție în care am pus doar două întrebări și am primit două răspunsuri foarte decent formulate.
AI Mode conversation: Care sunt principalele idei și puncte de vedere expuse de Aurelian Gheondea în eseurile sale de pe Contributors.ro?
Aurelian Gheondea (matematician, cercetător la Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române și profesor emerit la Universitatea Bilkent din Ankara) abordează în eseurile sale publicate pe Contributors.ro o arie largă de teme interdisciplinare. Punctele sale de vedere îmbină rigoarea matematică, logica decizională și analiza socio-culturală.
Principalele idei și perspective expuse în articolele sale se grupează în jurul următoarelor teme:
1. Matematica aplicată în societate, modelare și fundamentele ei
• Rolul esențial al matematicii: Autorul subliniază importanța matematicii ca pilon fundamental al societății moderne, trecând dincolo de cifre spre structurarea modului în care gândim și ne organizăm.
• Matematică vs. modelare matematică: Gheondea face o distincție clară între puritatea structurilor matematice și „modelarea” realității. El avertizează că modelele matematice sunt reprezentări simplificate ale lumii și trebuie utilizate cu discernământ, înțelegându-le limitele.
• Soliditatea fundamentelor: În eseuri precum „Cât de solide sunt fundamentele matematicii?”, el analizează crizele de fundamentare din istoria matematicii și modul în care acestea influențează certitudinile noastre științifice.
2. Justiția, dreptul și „bunul-simț”
• Intersecția dintre Drept și Logică: În eseul „Matematica în Justiție? Justiția bunului-simț și bunul-simț al justiției”, Gheondea analizează justiția ca o componentă esențială a statului de drept.
• Legea ca aproximare: Pornind de la premisa că dreptul este o disciplină epistemică legată de comportamentul uman, el argumentează că legea reprezintă o încercare formală de a stabili principiul de bază al „bunului-simț” într-o societate.
3. Inteligența Artificială și viitorul științei
• Automatizarea cercetării: În eseul „Către automatizarea cap-coadă a cercetării științifice cu inteligența artificială”, el evaluează critic noua paradigmă adusă de sisteme autonome (cum ar fi „AI Scientist”).
• Analiza noilor paradigme: Gheondea analizează capacitatea AI de a genera autonom ipoteze, programe, experimente și articole științifice, punând în balanță progresul tehnologic rapid și nuanțele epistemologice ale creativității umane.
4. Analize socio-comportamentale ale societății românești
• Teoria jocurilor aplicată în politică: În analize precum cele legate de „Blocajul românesc”, el utilizează instrumente din teoria comportamentală a jocurilor pentru a explica de ce societatea și clasa politică din România ajung adesea în puncte de impas (echilibre ineficiente sau blocaje decizionale).
• Limba română și identitatea culturală: În articole ca „Alegerile pe care le facem și limba română”, examinează degradarea lingvistică și utilizarea abuzivă a jargonului sau a barbarismelor din engleză. El privește limba nu doar ca instrument de comunicare, ci ca o oglindă a nivelului intelectual și a alegerilor conștiente ale unei națiuni.
Prin aceste eseuri, Aurelian Gheondea promovează necesitatea alfabetizării științifice și matematice a publicului larg, propunând o perspectivă analitică și rațională asupra provocărilor contemporane din România și din lume.
Apoi am pus a doua întrebare
AI Mode conversation: Dar în eseurile sale din seria ȘTIM ?
Seria ȘTIM (Știință, Tehnologie, Inginerie, Matematică) reprezintă nucleul eseisticii de popularizare științifică scrisă de Aurelian Gheondea pe Contributors.ro. Prin această serie, autorul își propune să explice concepte abstracte pe înțelesul tuturor și să restabilească valoarea rațiunii în educație și societate.
Eseurile din seria ȘTIM dezvoltă trei piloni principali:
1. ȘTIM 1. Considerații despre matematică în educația universitară și în societate
• Alfabetizarea științifică obligatorie: Autorul argumentează că matematica nu trebuie privită ca o disciplină izolată, ci ca o competență fundamentală de supraviețuire intelectuală în societatea modernă.
• Reforma gândirii: El pledează pentru o educație universitară care pune accent pe formarea riguroasă a logicii și a argumentării. Matematica are rolul de a antrena mintea să distingă între opinii subiective și fapte demonstrate, fiind un vaccin împotriva manipulării.
2. ȘTIM 2. Diferența între matematică și modele matematice pe înțelesul tuturor
• Harta nu este totuna cu teritoriul: Gheondea explică plastic că matematica pură trăiește într-un univers abstract de o certitudine absolută, în timp ce un model matematic este doar o aproximare grosieră sau o simplificare a lumii reale.
• Avertisment împotriva dogmatismului tehnologic: Autorul subliniază pericolele care apar atunci când decidenții politici sau economici confundă predicțiile unui model (cum ar fi cele economice sau epidemiologice) cu realitatea însăși. Modelele au limite stricte și depind în totalitate de datele introduse.
3. ȘTIM 3. Cât de solide sunt fundamentele matematicii?
• Rigoarea limitărilor: Analizând teoriile lui Kurt Gödel (teoremele de incompletitudine), autorul explică faptul că matematica a avut curajul unic de a-și demonstra științific propriile limite interne de demonstrabilitate.
• Certitudine vs. absolut: Exactitatea matematicii nu vine din deținerea unui adevăr absolut incontestabil, ci din rigoarea extremă cu care își definește ipotezele de pornire și regulile de inferență. Totuși, el avertizează că aceste concepte de „demonstrație pură” sunt specifice doar matematicii și nu pot fi extrapolate mecanic în științele empirice sau în viața de zi cu zi.
În ansamblu, seria ȘTIM servește ca un manifest pentru demitizarea matematicii (arătând că ea poate fi înțeleasă intuitiv) și, în același timp, pentru reinstalarea ei ca instrument critic în analiza culturii, politicii și crizelor sociale din România.
Dacă dorești, putem analiza în detaliu unul dintre aceste eseuri. Te interesează mai mult limitele fundamentării matematice (Gödel), modul în care funcționează modelarea realității, sau impactul matematicii asupra educației universitare?
Mulțumesc pentru comentariul indirect. După cum ați amintit și dumneavoastră, instrumentele de inteligență artificială pot face și greșeli:
,,4. Analize socio-comportamentale ale societății românești
• Teoria jocurilor aplicată în politică: În analize precum cele legate de „Blocajul românesc”, el utilizează instrumente din teoria comportamentală a jocurilor pentru a explica de ce societatea și clasa politică din România ajung adesea în puncte de impas (echilibre ineficiente sau blocaje decizionale).”
Eu nu am scris niciun articol pe această temă, doar am făcut un comentariu la eseul pe această temă al domnului Adrian Preda, a se veda https://www.contributors.ro/blocajul-romanesc-o-analiza-din-perspectiva-teoriei-comportamentale-a-jocurilor/ ceea ce a condus probabil la atribuirea eronată. Intervenția mea a fost bazată pe considerațiile mele din eseul ,,Matematica bunului simț. Despre o criză care n-ar fi trebuit să aibă loc”, disponibil la https://www.contributors.ro/matematica-bunului-simt-despre-o-criza-care-n-ar-fi-trebuit-sa-aiba-loc/ și în care am argumentat că o vină foarte mare în această harababură politică o are președintele nostru.
În rest, ce să zic? Modelele astea sunt antrenate să atenueze spiritul critic așa că nu este de mirare că nu m-a acuzat de nicio intenție ocultă. Lasă că sunt destul de mulți amatori de confruntări!
Modelele astea sunt antrenate să atenueze spiritul critic…
O sa va puneti in cap toti protopopii, episcopii si cardinalii noii religii A”I”.
Nu-i iau apararea chiriasului de la trei-coceni dar problema de fond este ca-n Romania nu sunt partide de dreapta. ‘auristii & co mustesc de national-comu’ism, asadar extrema-stanga.
,,O sa va puneti in cap toti protopopii, episcopii si cardinalii noii religii A”I”.”
N-au decât. Am încercat să explic pentru o audiență foarte largă principiile generale după care sunt proiectate modelele de limbaje mari generative, care sunt instrumente create de oameni pentru a fi utilizate de alți oameni.
Despre partide cam avem o imagine destul de corectă: lupul schimbă părul dar năravul ba. Dar președintele nostru a fost ales la mustață fiindcă a promis niște lucruri esențiale pentru țara asta și pentru care nu mai avem timp să facem jocuri politicianiste. Tocmai fiindcă nu-l pot acuza de prostie am făcut afirmația că are o enorm de mare vină pentru toată nebunia asta cu uite guvernul nu e guvernul.
„Modelele astea sunt antrenate să atenueze spiritul critic”
Nu sunt sigură cât de tolerant sunteți la critică. Când am făcut-o, m-ați cenzurat, așa că am renunțat. Ca să nu mai vorbim de buna credință cu care o interpretați. Sau de acuzațiile aruncate fără să produceți dovezi care să le justifice. Sau, dacă nu aveți acele dovezi, măcar să retractați și să vă cereți scuze.
Și acestui comentariu al meu nu îi acord mai mult de 1% șanse să îl publicați. Acest lucru, căruia îi acord șanse minime, și asupra căruia încă sper că mă înșel, vă face – în sintagma memorabilă a lui Andrei Pleșu – „un partener de discuție nedialogabil” Pt. conformitate vedeți aici: https://www.dilema.ro/situatiunea/cum-se-rateaza-o-dezbatere
,,Când am făcut-o, m-ați cenzurat, așa că am renunțat.”
Vă rog să-mi arătați un singur comentariu de-al dumneavoastră pe care l-am cenzurat. Asta nu este adevărat. Eu m-am autocenzurat fiindcă mi-am dat seama că intrasem deja într-o zonă a emoțiilor negative unde nu vreau să mă aventurez. Ceea ce am făcut a fost să vă spun că nu îmi pierd vremea să mă învârt în jurul cozii atunci când răspunsul este deja clar și limpede scris. Șirul dumneavoastră de comentarii nici măcar nu erau o critică, ci o incursiune într-un labirint în care, când am înțeles ce faceți, v-am spus că este inutil atâta timp cât răspunsul este scris clar la intrare.
@Mma Ramotswe – moderatorul platformei cenzurează destul de sever orice percepe drept referiri la persoană. Dl.Gheondea se exprimă destul de direct, fără multe menajamente, însă este adeptul libertății de exprimare, acceptă comentariile critice și le publică.
P.S. E destul de greu de urmărit cine anume a aprobat sau a cenzurat diverse comentarii, dar e realizabil. Al dvs sincer 😀
”am observat în discuțiile cu AI-uri e că nu sunt de rea-credință, așa cum pot fi oamenii de multe ori.”
Aveam un comentariu mai vechi despre filtrele de la Google, care se aplică și pentru agenții AI:
”Un filtru nu e inteligent, la fel cum un tramvai nu e inteligent. Un filtru are niște parametri în limita cărora operează. Filtrul în sine nu are intenții bune sau rele, chiar dacă oamenii care l-au gândit aveau niște intenții, bune sau rele.”
Comentariul acela e destul de lung, ajunge până la tramvaiele din München 😀
Nu îl reproduc integral, dar se poate găsi aici:
https://www.contributors.ro/creierele-boltzmann-si-invincibila-entropie/#comment-675446
Felicitari Domnule Gheondea. Ati reusit cu brio, cel putin pentru mine, sa explicati pe intelesul muritorului de rand, un concept fudamental.
Inevitabil cred, ajungem la AI si la faptul ca, cu toate ca fabulatiile pot fi puse pe sema „lipsei unor axiome” din conditiile de intrare ale algoritmilor, chiar in absenta lipsei de axiome (completitudinea ipotezei), nu exista o posibilitate de verificare si certificare a concluziei 100%.
Un exemplu, poate ales anapoda, ar putea fi: a ucis drona un dusman ori a fost „friendly fire”.
Vedeti o oarecare doza de adevar in ceea ce am spus?
Numai bine stimate domn.
Prima spargere a Rațiunii în sens clasic(Descartes și alții) a făcut-o Kant în Critica rațiunii pure și Critica Rațiunii practice. În rațiunea „pură” intră și matematică. Aici am putea spune că orice sistem rațional de pe Pământ sau oriunde în Univers va ajunge la câteva concluzii comune: cercul este locul geometric al punctelor egal depărtate de un punct fix, raportul lungimea cercului/ Diametru este o constantă, teorema lui Pitagora este valabilă peste tot(?), etc. Deși Kant a închis problema Rațiunii, unii ca Hegel și Marx au ridicat nivelul la Idee, descoperind legile Dialecticii/ Metafizicii…. care au dus la actuala nebunie științifică și socială….
Autorul, într-un mod strălucitor, încearcă să găsească limitele (filozofice?…) ale propriei meserii. Au mai încercat-o și alții, inclusiv în România. Ca exemplu dau încercarea unui domn-Constantin Pompărău- care, într-un eseu(sic!) asupra funcției Riemann de distribuție a numerelor PRIME, ajunge la unele concluzii asemănătoare cu autorul nostru. Da, dl Pompărău nu este matematician, este inginer, dar parcă și Einstein era la bază inginer. Chiar m-ar interesa părerea unui matematician în legătură cu articolul domnului Pompărău.
Revenind la text, voi zice și eu că ” ceva este putred în Danemarca”, respectiv în criza Fizicii fundamentale și indirect în Matematica auxiliară.
Poate Omenirea, cu Știința ei cu tot, a apucat-o pe căi greșite și ca urmare a intrat într-o Criză care pur și simplu a blocat(cel puțin deocamdată…) toate adevărurile sacrosancte pe care se baza Civilizația umană.
Aștept cu interes următoarele eseuri ale autorului.
„Vă rog să-mi arătați un singur comentariu de-al dumneavoastră pe care l-am cenzurat. Asta nu este adevărat.”
Iată un comentariu cenzurat la Matematica în Justiție.
Mma Ramotswe 07/09/2026 La 3:06
Comentariul dvs. așteaptă să fie moderat
„iarăși sunt acuzat de ceva, acum de pedanterie.”
Dle profesor, dvs ori nu înțelegeți limba română or suferiți de un complex de inferioritate serios și vreți neapărat să răstălmăciți orice ca să păreți o victimă.
Am spus că „cei doi nu sunt matematicieni, dar mica dvs pedanterie de matematician nu ar trebui să fie copacul care să vă împiedece să vedeți pădurea”, adică tradus mai pe înțelesul dvs, – nu folosiți asta ca o scuză ca să nu citiți, sau măcar să răsfoiți cartea celor doi.
Și pentru că apoi adăugați: – „Faptul că autorii cărții despre care vorbiți nu fac diferența între o identitate, o formulă, și o ecuație în matematică, pentru mine este un semnal nu prea bun.” – nu face decât să confirme că bănuiala mea era corectă, că veți folosi asta ca o scuză ca să nu citiți cartea lor.
Domnule profesor, it’s a free country, puteți citi numai ce credeți dvs că vă e folositor. Ce sens are să vă luați după mine. Știți vorba aia: Poți duce calul la apă dar nu-l poți face să bea.
Așa că mai bine închidem acest subiect aici. Dacă e să rețineți ceva din tot ce s-a discutat până aici, vă rog rețineți că „The Math is not the Teritory” (n.b, nu s-a strecurat nici un typo în expresia anterioară, e Math, nu Map, asta ca să evităm predispoziția dvs vădită către neînțelegeri convenabile.)
Ajunsă în acest punct discuția mea cu dvs a devenit nu numai impracticabilă, dar și o serioasă pierdere de vreme. Așa că nu îmi rămâne decât să vă urez mult succes cu viitoarele dvs eseuri aflate în pregătire, multe drumeții voioase, și să vă las cu bine.
Vă salut, RR
”Dle profesor, dvs ori nu înțelegeți limba română or suferiți de un complex de inferioritate serios și vreți neapărat să răstălmăciți orice ca să păreți o victimă.”
Exact asemenea formulări sunt cenzurate de moderatorul platformei, mai ales dacă sunt plasate chiar la începutul comentariului.
Acum, la modul serios: de ce aveți nevoie să caracterizați persoana autorului? Cam toți de pe-aici suntem trecuți de 50 de ani, credeți că se mai schimbă cineva la vârsta asta? 😀
Nu am văzut acel comentariu, dacă a fost aruncat la gunoi nu eu am făcut-o. Nici măcar pentru comentariile foarte agresive, atâtă timp cât păstrează niște limite minime de comunicare decentă, nu fac asta. Eu nu folosesc expresiile tari pe care le folosiți dumneavoastră în public cu așa lejeritate, dar asta este.
În rest, vă doresc numai bine și lecturi plăcute,
Aurelian Gheondea
” Eu nu folosesc expresiile tari pe care le folosiți dumneavoastră în public cu așa lejeritate”
Dar in corespondenta privată vă permiteți nu-i aşa? Vreți să vă dau și niște exemple din emailurile care mi le-ați trimis? Nu cred.
astupati i gura, dati l in judecata. bagati l in puscarie, smulgeti i unghiile.
daca v a scris in privat inseamna ca va respecta si trebuie sa ramina n privat.
doar politrucii/securistii/apvistii/militienii/juzii/specialii, scursurile revolutiei deturnate/furate se folosesc de asemenea „probe”
Sigur, ati gresit adresa, dar tema privind scopul politicii de moderare a platformei asteia este mai mult decat oportun pentru clarificarea coerentei cu politica de universalitate si filtrul intitial cu optica democratica din perspectiva europeana (care a adus finantarea initiala a ONG care a propus lansarea platformei).
Nu tine de matematica, dar tine de evidenta ca traficul organic de azi al platformei favorizeaza autori si comentatori cu viziuni diametral opuse scopului clamat initial, promovand antieuropenismul, cruciatii impotriva “Bisericii Verzi” si a “green deal”, acceptand cenzura arbitrara sau umorala a unor autori (vezi cursul decenal de magageologie) si stilul agresiv al vuvuzelelor asociate (mi se pare mie) intrinsec fondului intors pe dos al platformei.
..era un mesaj adresat Mma R.:
sigur ca e regretabil ca unii isi permit opinii contrare spiritului de partid, si, in loc sa se creeze o societate strins unita, in jurul aceluiasi partid, adopta atitudinii burgheze mosieresti, sau chiar capitalist-legionare.
Desigur acestia ar trebui urmariti si pedepsiti, poate de aceea li se mai da dreptul la comentarii pt a fi identificati.
Bravo duomnu Judex, ati dezvaluit elementele dusmanoase ale poporului. Puteti trece pe la casierie!
Stimata doamna,
De ce ar citi cineva o carte in care autorul (autorii) comenteaza asupra unor concepte ale caror definitii nu le cunosc?
De ce ar citi un matematician o carte in care autorul (autorii) peroreaza referitor la notiuni din matematica pe care nu le inteleg? Ar fi lipsit de sens sa-si piarda timpul cu asa ceva! Ar fi lipsit de sens sa-ti pierzi timpul citind texte scrise de ignoranti care, pentru a parea interesanti, folosesc concepte pe care nu le stapanesc.
Un matematician autentic are, printre altele, capacitatea de a-si da seama rapid daca un text merita citit sau nu, daca un text e o dovada clara de impostura sau nu.
Mi se pare suspecta atitudinea dumneavoastra in sensul ca pareti a fi nervoasa in legatura cu faptul ca domnul Gheondea a refuzat sa citeasca o carte pe care probabil dumneavoastra i-ati recomandat-o spre lectura!
1.”dacă omenirea va reuși să intre în contact cu o civilizație extraterestră superioară, presupunând că aceasta există, nu cumva matematica va fi singura modalitate de comunicare?”
Sa presupunem valabil experimentul lui Sagan. Intr-o buna zi, dintr-un punct indepartat al universului, ajunge pe pamant o raza de lumina care palpaie intr-un sir de zero si unu perfect coerent cu sirul numerelor prime. Se calculeaza iute si se stabileste ca locul de unde provine lumina este atat de indepartat incat viata pe planeta pamant nu ar fi existat. Reactii.
Penrose va deschide bratele si va spune : Iata, o civilizatie rationala indepartata a descoperit realitatea absoluta a matematicii. Nici un argument nu e mai bun care sa sustina ca matematica exista in mod fundamental. Dupa el vin lingvistii si psihologii care demonteza pe loc: nu e vorba de absolutul matematicii – nici vorba . E pur si simplu o forma de evolutie care a condus la un tip de rationalitate similar evolutiei pamantene. Se demonstreaza inca o data ca matematica e limitata si e formata de biologie in evolutie si arhitectutra neuronala. La final vine materialismul dialectic care matura tot: nu e vorba de nici un fel de civilizatie rationala. E pur si simplu un fenomen fizic ale carui legi nu sunt inca deslusite. In linia teoriei lui Shanon sirul de numere prime livreaza la fel de multa informatie ca si un sir de numere aleatoare sau un cird nesfarsit de unu si zero..
Stimate domn j001, nu vreau sa fiu rau, dar totusi! Ce inseamna ca ceva ” palpaie intr-un sir de zero si unu perfect coerent cu sirul numerelor prime ” ? Conceptul de ” a fi coerent cu sirul numerelor prime” il aud pentru prima oara, cred ca ati patentat o noua exprimare, dar as vrea sa stiu ce inseamna aceasta exprimare! Adica sa definiti ce inseamna ” perfect coerent cu sirul numerelor prime” .
De ce tineti neaparat sa comentati asupra unor concepte pe care in mod clar nu le stapaniti?
Daca tot doriti sa abordati astfel de subiecte, incercati sa justificati de ce conceptul de numar ar fi cunoscut intr-un anume sens pentru orice civilizatie avansata din univers.
e regretabil ca, indiferent de tema, se ajunge la discutii personale, eram gata sa dau un citat din Schopenhauer, dar ma abtin.
Aceasta platforma sufera de o cenzura pe care eu personal nu o inteleg, s-a depasit de mult etapa exprimarii civilizate, se taie chiar si intentii, ironii, ma rog asa cum sunt vazute de cerberi.
Aceasta situatie irita, invita la agresivitate, la atac la persoana si dilueaza masiv o dezbatere care ar putea deveni interesanta pe o anumita tema.
Cred ca cerberii nici nu doresc o dezbatere, ei vor doar sa spuna, sa impuna ceva. Micile scapari de libertate sunt doar praf in ochi, nu vor totusi, sa-si piarda tot auditoriul, ca din asta traiesc!
https://youtube.com/shorts/y-RjG9K2G88?si=nrRGrQc9We9Oj7J5
AfD e un cult de inculti.